0,001 207 488 481 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,001 207 488 481(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,001 207 488 481(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,001 207 488 481.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,001 207 488 481 × 2 = 0 + 0,002 414 976 962;
  • 2) 0,002 414 976 962 × 2 = 0 + 0,004 829 953 924;
  • 3) 0,004 829 953 924 × 2 = 0 + 0,009 659 907 848;
  • 4) 0,009 659 907 848 × 2 = 0 + 0,019 319 815 696;
  • 5) 0,019 319 815 696 × 2 = 0 + 0,038 639 631 392;
  • 6) 0,038 639 631 392 × 2 = 0 + 0,077 279 262 784;
  • 7) 0,077 279 262 784 × 2 = 0 + 0,154 558 525 568;
  • 8) 0,154 558 525 568 × 2 = 0 + 0,309 117 051 136;
  • 9) 0,309 117 051 136 × 2 = 0 + 0,618 234 102 272;
  • 10) 0,618 234 102 272 × 2 = 1 + 0,236 468 204 544;
  • 11) 0,236 468 204 544 × 2 = 0 + 0,472 936 409 088;
  • 12) 0,472 936 409 088 × 2 = 0 + 0,945 872 818 176;
  • 13) 0,945 872 818 176 × 2 = 1 + 0,891 745 636 352;
  • 14) 0,891 745 636 352 × 2 = 1 + 0,783 491 272 704;
  • 15) 0,783 491 272 704 × 2 = 1 + 0,566 982 545 408;
  • 16) 0,566 982 545 408 × 2 = 1 + 0,133 965 090 816;
  • 17) 0,133 965 090 816 × 2 = 0 + 0,267 930 181 632;
  • 18) 0,267 930 181 632 × 2 = 0 + 0,535 860 363 264;
  • 19) 0,535 860 363 264 × 2 = 1 + 0,071 720 726 528;
  • 20) 0,071 720 726 528 × 2 = 0 + 0,143 441 453 056;
  • 21) 0,143 441 453 056 × 2 = 0 + 0,286 882 906 112;
  • 22) 0,286 882 906 112 × 2 = 0 + 0,573 765 812 224;
  • 23) 0,573 765 812 224 × 2 = 1 + 0,147 531 624 448;
  • 24) 0,147 531 624 448 × 2 = 0 + 0,295 063 248 896;
  • 25) 0,295 063 248 896 × 2 = 0 + 0,590 126 497 792;
  • 26) 0,590 126 497 792 × 2 = 1 + 0,180 252 995 584;
  • 27) 0,180 252 995 584 × 2 = 0 + 0,360 505 991 168;
  • 28) 0,360 505 991 168 × 2 = 0 + 0,721 011 982 336;
  • 29) 0,721 011 982 336 × 2 = 1 + 0,442 023 964 672;
  • 30) 0,442 023 964 672 × 2 = 0 + 0,884 047 929 344;
  • 31) 0,884 047 929 344 × 2 = 1 + 0,768 095 858 688;
  • 32) 0,768 095 858 688 × 2 = 1 + 0,536 191 717 376;
  • 33) 0,536 191 717 376 × 2 = 1 + 0,072 383 434 752;
  • 34) 0,072 383 434 752 × 2 = 0 + 0,144 766 869 504;
  • 35) 0,144 766 869 504 × 2 = 0 + 0,289 533 739 008;
  • 36) 0,289 533 739 008 × 2 = 0 + 0,579 067 478 016;
  • 37) 0,579 067 478 016 × 2 = 1 + 0,158 134 956 032;
  • 38) 0,158 134 956 032 × 2 = 0 + 0,316 269 912 064;
  • 39) 0,316 269 912 064 × 2 = 0 + 0,632 539 824 128;
  • 40) 0,632 539 824 128 × 2 = 1 + 0,265 079 648 256;
  • 41) 0,265 079 648 256 × 2 = 0 + 0,530 159 296 512;
  • 42) 0,530 159 296 512 × 2 = 1 + 0,060 318 593 024;
  • 43) 0,060 318 593 024 × 2 = 0 + 0,120 637 186 048;
  • 44) 0,120 637 186 048 × 2 = 0 + 0,241 274 372 096;
  • 45) 0,241 274 372 096 × 2 = 0 + 0,482 548 744 192;
  • 46) 0,482 548 744 192 × 2 = 0 + 0,965 097 488 384;
  • 47) 0,965 097 488 384 × 2 = 1 + 0,930 194 976 768;
  • 48) 0,930 194 976 768 × 2 = 1 + 0,860 389 953 536;
  • 49) 0,860 389 953 536 × 2 = 1 + 0,720 779 907 072;
  • 50) 0,720 779 907 072 × 2 = 1 + 0,441 559 814 144;
  • 51) 0,441 559 814 144 × 2 = 0 + 0,883 119 628 288;
  • 52) 0,883 119 628 288 × 2 = 1 + 0,766 239 256 576;
  • 53) 0,766 239 256 576 × 2 = 1 + 0,532 478 513 152;
  • 54) 0,532 478 513 152 × 2 = 1 + 0,064 957 026 304;
  • 55) 0,064 957 026 304 × 2 = 0 + 0,129 914 052 608;
  • 56) 0,129 914 052 608 × 2 = 0 + 0,259 828 105 216;
  • 57) 0,259 828 105 216 × 2 = 0 + 0,519 656 210 432;
  • 58) 0,519 656 210 432 × 2 = 1 + 0,039 312 420 864;
  • 59) 0,039 312 420 864 × 2 = 0 + 0,078 624 841 728;
  • 60) 0,078 624 841 728 × 2 = 0 + 0,157 249 683 456;
  • 61) 0,157 249 683 456 × 2 = 0 + 0,314 499 366 912;
  • 62) 0,314 499 366 912 × 2 = 0 + 0,628 998 733 824;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,001 207 488 481(10) =

0,0000 0000 0100 1111 0010 0010 0100 1011 1000 1001 0100 0011 1101 1100 0100 00(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,001 207 488 481(10) =

0,0000 0000 0100 1111 0010 0010 0100 1011 1000 1001 0100 0011 1101 1100 0100 00(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,001 207 488 481(10) =

0,0000 0000 0100 1111 0010 0010 0100 1011 1000 1001 0100 0011 1101 1100 0100 00(2) =

0,0000 0000 0100 1111 0010 0010 0100 1011 1000 1001 0100 0011 1101 1100 0100 00(2) × 20 =

1,0011 1100 1000 1001 0010 1110 0010 0101 0000 1111 0111 0001 0000(2) × 2-10


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -10

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1100 1000 1001 0010 1110 0010 0101 0000 1111 0111 0001 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-10 + 2(11-1) - 1 =

(-10 + 1 023)(10) =

1 013(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 013 : 2 = 506 + 1;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1013(10) =

011 1111 0101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1100 1000 1001 0010 1110 0010 0101 0000 1111 0111 0001 0000 =

0011 1100 1000 1001 0010 1110 0010 0101 0000 1111 0111 0001 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0101

Mantisă (52 biți) =
0011 1100 1000 1001 0010 1110 0010 0101 0000 1111 0111 0001 0000


Numărul zecimal 0,001 207 488 481 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0101 - 0011 1100 1000 1001 0010 1110 0010 0101 0000 1111 0111 0001 0000

» Scriere 0,001 207 488 541 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100