0,002 204 718 637 47 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,002 204 718 637 47(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,002 204 718 637 47(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,002 204 718 637 47.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,002 204 718 637 47 × 2 = 0 + 0,004 409 437 274 94;
  • 2) 0,004 409 437 274 94 × 2 = 0 + 0,008 818 874 549 88;
  • 3) 0,008 818 874 549 88 × 2 = 0 + 0,017 637 749 099 76;
  • 4) 0,017 637 749 099 76 × 2 = 0 + 0,035 275 498 199 52;
  • 5) 0,035 275 498 199 52 × 2 = 0 + 0,070 550 996 399 04;
  • 6) 0,070 550 996 399 04 × 2 = 0 + 0,141 101 992 798 08;
  • 7) 0,141 101 992 798 08 × 2 = 0 + 0,282 203 985 596 16;
  • 8) 0,282 203 985 596 16 × 2 = 0 + 0,564 407 971 192 32;
  • 9) 0,564 407 971 192 32 × 2 = 1 + 0,128 815 942 384 64;
  • 10) 0,128 815 942 384 64 × 2 = 0 + 0,257 631 884 769 28;
  • 11) 0,257 631 884 769 28 × 2 = 0 + 0,515 263 769 538 56;
  • 12) 0,515 263 769 538 56 × 2 = 1 + 0,030 527 539 077 12;
  • 13) 0,030 527 539 077 12 × 2 = 0 + 0,061 055 078 154 24;
  • 14) 0,061 055 078 154 24 × 2 = 0 + 0,122 110 156 308 48;
  • 15) 0,122 110 156 308 48 × 2 = 0 + 0,244 220 312 616 96;
  • 16) 0,244 220 312 616 96 × 2 = 0 + 0,488 440 625 233 92;
  • 17) 0,488 440 625 233 92 × 2 = 0 + 0,976 881 250 467 84;
  • 18) 0,976 881 250 467 84 × 2 = 1 + 0,953 762 500 935 68;
  • 19) 0,953 762 500 935 68 × 2 = 1 + 0,907 525 001 871 36;
  • 20) 0,907 525 001 871 36 × 2 = 1 + 0,815 050 003 742 72;
  • 21) 0,815 050 003 742 72 × 2 = 1 + 0,630 100 007 485 44;
  • 22) 0,630 100 007 485 44 × 2 = 1 + 0,260 200 014 970 88;
  • 23) 0,260 200 014 970 88 × 2 = 0 + 0,520 400 029 941 76;
  • 24) 0,520 400 029 941 76 × 2 = 1 + 0,040 800 059 883 52;
  • 25) 0,040 800 059 883 52 × 2 = 0 + 0,081 600 119 767 04;
  • 26) 0,081 600 119 767 04 × 2 = 0 + 0,163 200 239 534 08;
  • 27) 0,163 200 239 534 08 × 2 = 0 + 0,326 400 479 068 16;
  • 28) 0,326 400 479 068 16 × 2 = 0 + 0,652 800 958 136 32;
  • 29) 0,652 800 958 136 32 × 2 = 1 + 0,305 601 916 272 64;
  • 30) 0,305 601 916 272 64 × 2 = 0 + 0,611 203 832 545 28;
  • 31) 0,611 203 832 545 28 × 2 = 1 + 0,222 407 665 090 56;
  • 32) 0,222 407 665 090 56 × 2 = 0 + 0,444 815 330 181 12;
  • 33) 0,444 815 330 181 12 × 2 = 0 + 0,889 630 660 362 24;
  • 34) 0,889 630 660 362 24 × 2 = 1 + 0,779 261 320 724 48;
  • 35) 0,779 261 320 724 48 × 2 = 1 + 0,558 522 641 448 96;
  • 36) 0,558 522 641 448 96 × 2 = 1 + 0,117 045 282 897 92;
  • 37) 0,117 045 282 897 92 × 2 = 0 + 0,234 090 565 795 84;
  • 38) 0,234 090 565 795 84 × 2 = 0 + 0,468 181 131 591 68;
  • 39) 0,468 181 131 591 68 × 2 = 0 + 0,936 362 263 183 36;
  • 40) 0,936 362 263 183 36 × 2 = 1 + 0,872 724 526 366 72;
  • 41) 0,872 724 526 366 72 × 2 = 1 + 0,745 449 052 733 44;
  • 42) 0,745 449 052 733 44 × 2 = 1 + 0,490 898 105 466 88;
  • 43) 0,490 898 105 466 88 × 2 = 0 + 0,981 796 210 933 76;
  • 44) 0,981 796 210 933 76 × 2 = 1 + 0,963 592 421 867 52;
  • 45) 0,963 592 421 867 52 × 2 = 1 + 0,927 184 843 735 04;
  • 46) 0,927 184 843 735 04 × 2 = 1 + 0,854 369 687 470 08;
  • 47) 0,854 369 687 470 08 × 2 = 1 + 0,708 739 374 940 16;
  • 48) 0,708 739 374 940 16 × 2 = 1 + 0,417 478 749 880 32;
  • 49) 0,417 478 749 880 32 × 2 = 0 + 0,834 957 499 760 64;
  • 50) 0,834 957 499 760 64 × 2 = 1 + 0,669 914 999 521 28;
  • 51) 0,669 914 999 521 28 × 2 = 1 + 0,339 829 999 042 56;
  • 52) 0,339 829 999 042 56 × 2 = 0 + 0,679 659 998 085 12;
  • 53) 0,679 659 998 085 12 × 2 = 1 + 0,359 319 996 170 24;
  • 54) 0,359 319 996 170 24 × 2 = 0 + 0,718 639 992 340 48;
  • 55) 0,718 639 992 340 48 × 2 = 1 + 0,437 279 984 680 96;
  • 56) 0,437 279 984 680 96 × 2 = 0 + 0,874 559 969 361 92;
  • 57) 0,874 559 969 361 92 × 2 = 1 + 0,749 119 938 723 84;
  • 58) 0,749 119 938 723 84 × 2 = 1 + 0,498 239 877 447 68;
  • 59) 0,498 239 877 447 68 × 2 = 0 + 0,996 479 754 895 36;
  • 60) 0,996 479 754 895 36 × 2 = 1 + 0,992 959 509 790 72;
  • 61) 0,992 959 509 790 72 × 2 = 1 + 0,985 919 019 581 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,002 204 718 637 47(10) =

0,0000 0000 1001 0000 0111 1101 0000 1010 0111 0001 1101 1111 0110 1010 1101 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,002 204 718 637 47(10) =

0,0000 0000 1001 0000 0111 1101 0000 1010 0111 0001 1101 1111 0110 1010 1101 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,002 204 718 637 47(10) =

0,0000 0000 1001 0000 0111 1101 0000 1010 0111 0001 1101 1111 0110 1010 1101 1(2) =

0,0000 0000 1001 0000 0111 1101 0000 1010 0111 0001 1101 1111 0110 1010 1101 1(2) × 20 =

1,0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1011 1110 1101 0101 1011(2) × 2-9


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -9

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1011 1110 1101 0101 1011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-9 + 2(11-1) - 1 =

(-9 + 1 023)(10) =

1 014(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 014 : 2 = 507 + 0;
  • 507 : 2 = 253 + 1;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1014(10) =

011 1111 0110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1011 1110 1101 0101 1011 =

0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1011 1110 1101 0101 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0110

Mantisă (52 biți) =
0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1011 1110 1101 0101 1011


Numărul zecimal 0,002 204 718 637 47 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0110 - 0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1011 1110 1101 0101 1011

Distribuie

» Scriere 0,002 204 718 637 28 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100