0,002 204 718 637 583 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,002 204 718 637 583(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,002 204 718 637 583(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,002 204 718 637 583.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,002 204 718 637 583 × 2 = 0 + 0,004 409 437 275 166;
  • 2) 0,004 409 437 275 166 × 2 = 0 + 0,008 818 874 550 332;
  • 3) 0,008 818 874 550 332 × 2 = 0 + 0,017 637 749 100 664;
  • 4) 0,017 637 749 100 664 × 2 = 0 + 0,035 275 498 201 328;
  • 5) 0,035 275 498 201 328 × 2 = 0 + 0,070 550 996 402 656;
  • 6) 0,070 550 996 402 656 × 2 = 0 + 0,141 101 992 805 312;
  • 7) 0,141 101 992 805 312 × 2 = 0 + 0,282 203 985 610 624;
  • 8) 0,282 203 985 610 624 × 2 = 0 + 0,564 407 971 221 248;
  • 9) 0,564 407 971 221 248 × 2 = 1 + 0,128 815 942 442 496;
  • 10) 0,128 815 942 442 496 × 2 = 0 + 0,257 631 884 884 992;
  • 11) 0,257 631 884 884 992 × 2 = 0 + 0,515 263 769 769 984;
  • 12) 0,515 263 769 769 984 × 2 = 1 + 0,030 527 539 539 968;
  • 13) 0,030 527 539 539 968 × 2 = 0 + 0,061 055 079 079 936;
  • 14) 0,061 055 079 079 936 × 2 = 0 + 0,122 110 158 159 872;
  • 15) 0,122 110 158 159 872 × 2 = 0 + 0,244 220 316 319 744;
  • 16) 0,244 220 316 319 744 × 2 = 0 + 0,488 440 632 639 488;
  • 17) 0,488 440 632 639 488 × 2 = 0 + 0,976 881 265 278 976;
  • 18) 0,976 881 265 278 976 × 2 = 1 + 0,953 762 530 557 952;
  • 19) 0,953 762 530 557 952 × 2 = 1 + 0,907 525 061 115 904;
  • 20) 0,907 525 061 115 904 × 2 = 1 + 0,815 050 122 231 808;
  • 21) 0,815 050 122 231 808 × 2 = 1 + 0,630 100 244 463 616;
  • 22) 0,630 100 244 463 616 × 2 = 1 + 0,260 200 488 927 232;
  • 23) 0,260 200 488 927 232 × 2 = 0 + 0,520 400 977 854 464;
  • 24) 0,520 400 977 854 464 × 2 = 1 + 0,040 801 955 708 928;
  • 25) 0,040 801 955 708 928 × 2 = 0 + 0,081 603 911 417 856;
  • 26) 0,081 603 911 417 856 × 2 = 0 + 0,163 207 822 835 712;
  • 27) 0,163 207 822 835 712 × 2 = 0 + 0,326 415 645 671 424;
  • 28) 0,326 415 645 671 424 × 2 = 0 + 0,652 831 291 342 848;
  • 29) 0,652 831 291 342 848 × 2 = 1 + 0,305 662 582 685 696;
  • 30) 0,305 662 582 685 696 × 2 = 0 + 0,611 325 165 371 392;
  • 31) 0,611 325 165 371 392 × 2 = 1 + 0,222 650 330 742 784;
  • 32) 0,222 650 330 742 784 × 2 = 0 + 0,445 300 661 485 568;
  • 33) 0,445 300 661 485 568 × 2 = 0 + 0,890 601 322 971 136;
  • 34) 0,890 601 322 971 136 × 2 = 1 + 0,781 202 645 942 272;
  • 35) 0,781 202 645 942 272 × 2 = 1 + 0,562 405 291 884 544;
  • 36) 0,562 405 291 884 544 × 2 = 1 + 0,124 810 583 769 088;
  • 37) 0,124 810 583 769 088 × 2 = 0 + 0,249 621 167 538 176;
  • 38) 0,249 621 167 538 176 × 2 = 0 + 0,499 242 335 076 352;
  • 39) 0,499 242 335 076 352 × 2 = 0 + 0,998 484 670 152 704;
  • 40) 0,998 484 670 152 704 × 2 = 1 + 0,996 969 340 305 408;
  • 41) 0,996 969 340 305 408 × 2 = 1 + 0,993 938 680 610 816;
  • 42) 0,993 938 680 610 816 × 2 = 1 + 0,987 877 361 221 632;
  • 43) 0,987 877 361 221 632 × 2 = 1 + 0,975 754 722 443 264;
  • 44) 0,975 754 722 443 264 × 2 = 1 + 0,951 509 444 886 528;
  • 45) 0,951 509 444 886 528 × 2 = 1 + 0,903 018 889 773 056;
  • 46) 0,903 018 889 773 056 × 2 = 1 + 0,806 037 779 546 112;
  • 47) 0,806 037 779 546 112 × 2 = 1 + 0,612 075 559 092 224;
  • 48) 0,612 075 559 092 224 × 2 = 1 + 0,224 151 118 184 448;
  • 49) 0,224 151 118 184 448 × 2 = 0 + 0,448 302 236 368 896;
  • 50) 0,448 302 236 368 896 × 2 = 0 + 0,896 604 472 737 792;
  • 51) 0,896 604 472 737 792 × 2 = 1 + 0,793 208 945 475 584;
  • 52) 0,793 208 945 475 584 × 2 = 1 + 0,586 417 890 951 168;
  • 53) 0,586 417 890 951 168 × 2 = 1 + 0,172 835 781 902 336;
  • 54) 0,172 835 781 902 336 × 2 = 0 + 0,345 671 563 804 672;
  • 55) 0,345 671 563 804 672 × 2 = 0 + 0,691 343 127 609 344;
  • 56) 0,691 343 127 609 344 × 2 = 1 + 0,382 686 255 218 688;
  • 57) 0,382 686 255 218 688 × 2 = 0 + 0,765 372 510 437 376;
  • 58) 0,765 372 510 437 376 × 2 = 1 + 0,530 745 020 874 752;
  • 59) 0,530 745 020 874 752 × 2 = 1 + 0,061 490 041 749 504;
  • 60) 0,061 490 041 749 504 × 2 = 0 + 0,122 980 083 499 008;
  • 61) 0,122 980 083 499 008 × 2 = 0 + 0,245 960 166 998 016;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,002 204 718 637 583(10) =

0,0000 0000 1001 0000 0111 1101 0000 1010 0111 0001 1111 1111 0011 1001 0110 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,002 204 718 637 583(10) =

0,0000 0000 1001 0000 0111 1101 0000 1010 0111 0001 1111 1111 0011 1001 0110 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,002 204 718 637 583(10) =

0,0000 0000 1001 0000 0111 1101 0000 1010 0111 0001 1111 1111 0011 1001 0110 0(2) =

0,0000 0000 1001 0000 0111 1101 0000 1010 0111 0001 1111 1111 0011 1001 0110 0(2) × 20 =

1,0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1111 1110 0111 0010 1100(2) × 2-9


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -9

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1111 1110 0111 0010 1100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-9 + 2(11-1) - 1 =

(-9 + 1 023)(10) =

1 014(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 014 : 2 = 507 + 0;
  • 507 : 2 = 253 + 1;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1014(10) =

011 1111 0110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1111 1110 0111 0010 1100 =

0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1111 1110 0111 0010 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0110

Mantisă (52 biți) =
0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1111 1110 0111 0010 1100


Numărul zecimal 0,002 204 718 637 583 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0110 - 0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1111 1110 0111 0010 1100

Distribuie

» Scriere 0,002 204 718 637 564 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100