0,009 234 567 810 758 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,009 234 567 810 758(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,009 234 567 810 758(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,009 234 567 810 758.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,009 234 567 810 758 × 2 = 0 + 0,018 469 135 621 516;
  • 2) 0,018 469 135 621 516 × 2 = 0 + 0,036 938 271 243 032;
  • 3) 0,036 938 271 243 032 × 2 = 0 + 0,073 876 542 486 064;
  • 4) 0,073 876 542 486 064 × 2 = 0 + 0,147 753 084 972 128;
  • 5) 0,147 753 084 972 128 × 2 = 0 + 0,295 506 169 944 256;
  • 6) 0,295 506 169 944 256 × 2 = 0 + 0,591 012 339 888 512;
  • 7) 0,591 012 339 888 512 × 2 = 1 + 0,182 024 679 777 024;
  • 8) 0,182 024 679 777 024 × 2 = 0 + 0,364 049 359 554 048;
  • 9) 0,364 049 359 554 048 × 2 = 0 + 0,728 098 719 108 096;
  • 10) 0,728 098 719 108 096 × 2 = 1 + 0,456 197 438 216 192;
  • 11) 0,456 197 438 216 192 × 2 = 0 + 0,912 394 876 432 384;
  • 12) 0,912 394 876 432 384 × 2 = 1 + 0,824 789 752 864 768;
  • 13) 0,824 789 752 864 768 × 2 = 1 + 0,649 579 505 729 536;
  • 14) 0,649 579 505 729 536 × 2 = 1 + 0,299 159 011 459 072;
  • 15) 0,299 159 011 459 072 × 2 = 0 + 0,598 318 022 918 144;
  • 16) 0,598 318 022 918 144 × 2 = 1 + 0,196 636 045 836 288;
  • 17) 0,196 636 045 836 288 × 2 = 0 + 0,393 272 091 672 576;
  • 18) 0,393 272 091 672 576 × 2 = 0 + 0,786 544 183 345 152;
  • 19) 0,786 544 183 345 152 × 2 = 1 + 0,573 088 366 690 304;
  • 20) 0,573 088 366 690 304 × 2 = 1 + 0,146 176 733 380 608;
  • 21) 0,146 176 733 380 608 × 2 = 0 + 0,292 353 466 761 216;
  • 22) 0,292 353 466 761 216 × 2 = 0 + 0,584 706 933 522 432;
  • 23) 0,584 706 933 522 432 × 2 = 1 + 0,169 413 867 044 864;
  • 24) 0,169 413 867 044 864 × 2 = 0 + 0,338 827 734 089 728;
  • 25) 0,338 827 734 089 728 × 2 = 0 + 0,677 655 468 179 456;
  • 26) 0,677 655 468 179 456 × 2 = 1 + 0,355 310 936 358 912;
  • 27) 0,355 310 936 358 912 × 2 = 0 + 0,710 621 872 717 824;
  • 28) 0,710 621 872 717 824 × 2 = 1 + 0,421 243 745 435 648;
  • 29) 0,421 243 745 435 648 × 2 = 0 + 0,842 487 490 871 296;
  • 30) 0,842 487 490 871 296 × 2 = 1 + 0,684 974 981 742 592;
  • 31) 0,684 974 981 742 592 × 2 = 1 + 0,369 949 963 485 184;
  • 32) 0,369 949 963 485 184 × 2 = 0 + 0,739 899 926 970 368;
  • 33) 0,739 899 926 970 368 × 2 = 1 + 0,479 799 853 940 736;
  • 34) 0,479 799 853 940 736 × 2 = 0 + 0,959 599 707 881 472;
  • 35) 0,959 599 707 881 472 × 2 = 1 + 0,919 199 415 762 944;
  • 36) 0,919 199 415 762 944 × 2 = 1 + 0,838 398 831 525 888;
  • 37) 0,838 398 831 525 888 × 2 = 1 + 0,676 797 663 051 776;
  • 38) 0,676 797 663 051 776 × 2 = 1 + 0,353 595 326 103 552;
  • 39) 0,353 595 326 103 552 × 2 = 0 + 0,707 190 652 207 104;
  • 40) 0,707 190 652 207 104 × 2 = 1 + 0,414 381 304 414 208;
  • 41) 0,414 381 304 414 208 × 2 = 0 + 0,828 762 608 828 416;
  • 42) 0,828 762 608 828 416 × 2 = 1 + 0,657 525 217 656 832;
  • 43) 0,657 525 217 656 832 × 2 = 1 + 0,315 050 435 313 664;
  • 44) 0,315 050 435 313 664 × 2 = 0 + 0,630 100 870 627 328;
  • 45) 0,630 100 870 627 328 × 2 = 1 + 0,260 201 741 254 656;
  • 46) 0,260 201 741 254 656 × 2 = 0 + 0,520 403 482 509 312;
  • 47) 0,520 403 482 509 312 × 2 = 1 + 0,040 806 965 018 624;
  • 48) 0,040 806 965 018 624 × 2 = 0 + 0,081 613 930 037 248;
  • 49) 0,081 613 930 037 248 × 2 = 0 + 0,163 227 860 074 496;
  • 50) 0,163 227 860 074 496 × 2 = 0 + 0,326 455 720 148 992;
  • 51) 0,326 455 720 148 992 × 2 = 0 + 0,652 911 440 297 984;
  • 52) 0,652 911 440 297 984 × 2 = 1 + 0,305 822 880 595 968;
  • 53) 0,305 822 880 595 968 × 2 = 0 + 0,611 645 761 191 936;
  • 54) 0,611 645 761 191 936 × 2 = 1 + 0,223 291 522 383 872;
  • 55) 0,223 291 522 383 872 × 2 = 0 + 0,446 583 044 767 744;
  • 56) 0,446 583 044 767 744 × 2 = 0 + 0,893 166 089 535 488;
  • 57) 0,893 166 089 535 488 × 2 = 1 + 0,786 332 179 070 976;
  • 58) 0,786 332 179 070 976 × 2 = 1 + 0,572 664 358 141 952;
  • 59) 0,572 664 358 141 952 × 2 = 1 + 0,145 328 716 283 904;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,009 234 567 810 758(10) =

0,0000 0010 0101 1101 0011 0010 0101 0110 1011 1101 0110 1010 0001 0100 111(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,009 234 567 810 758(10) =

0,0000 0010 0101 1101 0011 0010 0101 0110 1011 1101 0110 1010 0001 0100 111(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,009 234 567 810 758(10) =

0,0000 0010 0101 1101 0011 0010 0101 0110 1011 1101 0110 1010 0001 0100 111(2) =

0,0000 0010 0101 1101 0011 0010 0101 0110 1011 1101 0110 1010 0001 0100 111(2) × 20 =

1,0010 1110 1001 1001 0010 1011 0101 1110 1011 0101 0000 1010 0111(2) × 2-7


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1110 1001 1001 0010 1011 0101 1110 1011 0101 0000 1010 0111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1110 1001 1001 0010 1011 0101 1110 1011 0101 0000 1010 0111 =

0010 1110 1001 1001 0010 1011 0101 1110 1011 0101 0000 1010 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
0010 1110 1001 1001 0010 1011 0101 1110 1011 0101 0000 1010 0111


Numărul zecimal 0,009 234 567 810 758 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1000 - 0010 1110 1001 1001 0010 1011 0101 1110 1011 0101 0000 1010 0111

» Scriere 0,009 234 567 810 744 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100