0,020 104 118 828 887 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,020 104 118 828 887(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,020 104 118 828 887(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,020 104 118 828 887.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,020 104 118 828 887 × 2 = 0 + 0,040 208 237 657 774;
  • 2) 0,040 208 237 657 774 × 2 = 0 + 0,080 416 475 315 548;
  • 3) 0,080 416 475 315 548 × 2 = 0 + 0,160 832 950 631 096;
  • 4) 0,160 832 950 631 096 × 2 = 0 + 0,321 665 901 262 192;
  • 5) 0,321 665 901 262 192 × 2 = 0 + 0,643 331 802 524 384;
  • 6) 0,643 331 802 524 384 × 2 = 1 + 0,286 663 605 048 768;
  • 7) 0,286 663 605 048 768 × 2 = 0 + 0,573 327 210 097 536;
  • 8) 0,573 327 210 097 536 × 2 = 1 + 0,146 654 420 195 072;
  • 9) 0,146 654 420 195 072 × 2 = 0 + 0,293 308 840 390 144;
  • 10) 0,293 308 840 390 144 × 2 = 0 + 0,586 617 680 780 288;
  • 11) 0,586 617 680 780 288 × 2 = 1 + 0,173 235 361 560 576;
  • 12) 0,173 235 361 560 576 × 2 = 0 + 0,346 470 723 121 152;
  • 13) 0,346 470 723 121 152 × 2 = 0 + 0,692 941 446 242 304;
  • 14) 0,692 941 446 242 304 × 2 = 1 + 0,385 882 892 484 608;
  • 15) 0,385 882 892 484 608 × 2 = 0 + 0,771 765 784 969 216;
  • 16) 0,771 765 784 969 216 × 2 = 1 + 0,543 531 569 938 432;
  • 17) 0,543 531 569 938 432 × 2 = 1 + 0,087 063 139 876 864;
  • 18) 0,087 063 139 876 864 × 2 = 0 + 0,174 126 279 753 728;
  • 19) 0,174 126 279 753 728 × 2 = 0 + 0,348 252 559 507 456;
  • 20) 0,348 252 559 507 456 × 2 = 0 + 0,696 505 119 014 912;
  • 21) 0,696 505 119 014 912 × 2 = 1 + 0,393 010 238 029 824;
  • 22) 0,393 010 238 029 824 × 2 = 0 + 0,786 020 476 059 648;
  • 23) 0,786 020 476 059 648 × 2 = 1 + 0,572 040 952 119 296;
  • 24) 0,572 040 952 119 296 × 2 = 1 + 0,144 081 904 238 592;
  • 25) 0,144 081 904 238 592 × 2 = 0 + 0,288 163 808 477 184;
  • 26) 0,288 163 808 477 184 × 2 = 0 + 0,576 327 616 954 368;
  • 27) 0,576 327 616 954 368 × 2 = 1 + 0,152 655 233 908 736;
  • 28) 0,152 655 233 908 736 × 2 = 0 + 0,305 310 467 817 472;
  • 29) 0,305 310 467 817 472 × 2 = 0 + 0,610 620 935 634 944;
  • 30) 0,610 620 935 634 944 × 2 = 1 + 0,221 241 871 269 888;
  • 31) 0,221 241 871 269 888 × 2 = 0 + 0,442 483 742 539 776;
  • 32) 0,442 483 742 539 776 × 2 = 0 + 0,884 967 485 079 552;
  • 33) 0,884 967 485 079 552 × 2 = 1 + 0,769 934 970 159 104;
  • 34) 0,769 934 970 159 104 × 2 = 1 + 0,539 869 940 318 208;
  • 35) 0,539 869 940 318 208 × 2 = 1 + 0,079 739 880 636 416;
  • 36) 0,079 739 880 636 416 × 2 = 0 + 0,159 479 761 272 832;
  • 37) 0,159 479 761 272 832 × 2 = 0 + 0,318 959 522 545 664;
  • 38) 0,318 959 522 545 664 × 2 = 0 + 0,637 919 045 091 328;
  • 39) 0,637 919 045 091 328 × 2 = 1 + 0,275 838 090 182 656;
  • 40) 0,275 838 090 182 656 × 2 = 0 + 0,551 676 180 365 312;
  • 41) 0,551 676 180 365 312 × 2 = 1 + 0,103 352 360 730 624;
  • 42) 0,103 352 360 730 624 × 2 = 0 + 0,206 704 721 461 248;
  • 43) 0,206 704 721 461 248 × 2 = 0 + 0,413 409 442 922 496;
  • 44) 0,413 409 442 922 496 × 2 = 0 + 0,826 818 885 844 992;
  • 45) 0,826 818 885 844 992 × 2 = 1 + 0,653 637 771 689 984;
  • 46) 0,653 637 771 689 984 × 2 = 1 + 0,307 275 543 379 968;
  • 47) 0,307 275 543 379 968 × 2 = 0 + 0,614 551 086 759 936;
  • 48) 0,614 551 086 759 936 × 2 = 1 + 0,229 102 173 519 872;
  • 49) 0,229 102 173 519 872 × 2 = 0 + 0,458 204 347 039 744;
  • 50) 0,458 204 347 039 744 × 2 = 0 + 0,916 408 694 079 488;
  • 51) 0,916 408 694 079 488 × 2 = 1 + 0,832 817 388 158 976;
  • 52) 0,832 817 388 158 976 × 2 = 1 + 0,665 634 776 317 952;
  • 53) 0,665 634 776 317 952 × 2 = 1 + 0,331 269 552 635 904;
  • 54) 0,331 269 552 635 904 × 2 = 0 + 0,662 539 105 271 808;
  • 55) 0,662 539 105 271 808 × 2 = 1 + 0,325 078 210 543 616;
  • 56) 0,325 078 210 543 616 × 2 = 0 + 0,650 156 421 087 232;
  • 57) 0,650 156 421 087 232 × 2 = 1 + 0,300 312 842 174 464;
  • 58) 0,300 312 842 174 464 × 2 = 0 + 0,600 625 684 348 928;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,020 104 118 828 887(10) =

0,0000 0101 0010 0101 1000 1011 0010 0100 1110 0010 1000 1101 0011 1010 10(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,020 104 118 828 887(10) =

0,0000 0101 0010 0101 1000 1011 0010 0100 1110 0010 1000 1101 0011 1010 10(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,020 104 118 828 887(10) =

0,0000 0101 0010 0101 1000 1011 0010 0100 1110 0010 1000 1101 0011 1010 10(2) =

0,0000 0101 0010 0101 1000 1011 0010 0100 1110 0010 1000 1101 0011 1010 10(2) × 20 =

1,0100 1001 0110 0010 1100 1001 0011 1000 1010 0011 0100 1110 1010(2) × 2-6


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 1001 0110 0010 1100 1001 0011 1000 1010 0011 0100 1110 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 1001 0110 0010 1100 1001 0011 1000 1010 0011 0100 1110 1010 =

0100 1001 0110 0010 1100 1001 0011 1000 1010 0011 0100 1110 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0100 1001 0110 0010 1100 1001 0011 1000 1010 0011 0100 1110 1010


Numărul zecimal 0,020 104 118 828 887 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1001 - 0100 1001 0110 0010 1100 1001 0011 1000 1010 0011 0100 1110 1010

» Scriere 0,020 104 118 828 796 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100