Din zecimal în binar pe 64 biți IEEE 754: Transformă numărul 0,026 916 503 895 5 în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din sistem zecimal (baza zece)

Numărul 0,026 916 503 895 5(10) convertit și scris în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =


0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,026 916 503 895 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.


Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.


Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,026 916 503 895 5 × 2 = 0 + 0,053 833 007 791;
  • 2) 0,053 833 007 791 × 2 = 0 + 0,107 666 015 582;
  • 3) 0,107 666 015 582 × 2 = 0 + 0,215 332 031 164;
  • 4) 0,215 332 031 164 × 2 = 0 + 0,430 664 062 328;
  • 5) 0,430 664 062 328 × 2 = 0 + 0,861 328 124 656;
  • 6) 0,861 328 124 656 × 2 = 1 + 0,722 656 249 312;
  • 7) 0,722 656 249 312 × 2 = 1 + 0,445 312 498 624;
  • 8) 0,445 312 498 624 × 2 = 0 + 0,890 624 997 248;
  • 9) 0,890 624 997 248 × 2 = 1 + 0,781 249 994 496;
  • 10) 0,781 249 994 496 × 2 = 1 + 0,562 499 988 992;
  • 11) 0,562 499 988 992 × 2 = 1 + 0,124 999 977 984;
  • 12) 0,124 999 977 984 × 2 = 0 + 0,249 999 955 968;
  • 13) 0,249 999 955 968 × 2 = 0 + 0,499 999 911 936;
  • 14) 0,499 999 911 936 × 2 = 0 + 0,999 999 823 872;
  • 15) 0,999 999 823 872 × 2 = 1 + 0,999 999 647 744;
  • 16) 0,999 999 647 744 × 2 = 1 + 0,999 999 295 488;
  • 17) 0,999 999 295 488 × 2 = 1 + 0,999 998 590 976;
  • 18) 0,999 998 590 976 × 2 = 1 + 0,999 997 181 952;
  • 19) 0,999 997 181 952 × 2 = 1 + 0,999 994 363 904;
  • 20) 0,999 994 363 904 × 2 = 1 + 0,999 988 727 808;
  • 21) 0,999 988 727 808 × 2 = 1 + 0,999 977 455 616;
  • 22) 0,999 977 455 616 × 2 = 1 + 0,999 954 911 232;
  • 23) 0,999 954 911 232 × 2 = 1 + 0,999 909 822 464;
  • 24) 0,999 909 822 464 × 2 = 1 + 0,999 819 644 928;
  • 25) 0,999 819 644 928 × 2 = 1 + 0,999 639 289 856;
  • 26) 0,999 639 289 856 × 2 = 1 + 0,999 278 579 712;
  • 27) 0,999 278 579 712 × 2 = 1 + 0,998 557 159 424;
  • 28) 0,998 557 159 424 × 2 = 1 + 0,997 114 318 848;
  • 29) 0,997 114 318 848 × 2 = 1 + 0,994 228 637 696;
  • 30) 0,994 228 637 696 × 2 = 1 + 0,988 457 275 392;
  • 31) 0,988 457 275 392 × 2 = 1 + 0,976 914 550 784;
  • 32) 0,976 914 550 784 × 2 = 1 + 0,953 829 101 568;
  • 33) 0,953 829 101 568 × 2 = 1 + 0,907 658 203 136;
  • 34) 0,907 658 203 136 × 2 = 1 + 0,815 316 406 272;
  • 35) 0,815 316 406 272 × 2 = 1 + 0,630 632 812 544;
  • 36) 0,630 632 812 544 × 2 = 1 + 0,261 265 625 088;
  • 37) 0,261 265 625 088 × 2 = 0 + 0,522 531 250 176;
  • 38) 0,522 531 250 176 × 2 = 1 + 0,045 062 500 352;
  • 39) 0,045 062 500 352 × 2 = 0 + 0,090 125 000 704;
  • 40) 0,090 125 000 704 × 2 = 0 + 0,180 250 001 408;
  • 41) 0,180 250 001 408 × 2 = 0 + 0,360 500 002 816;
  • 42) 0,360 500 002 816 × 2 = 0 + 0,721 000 005 632;
  • 43) 0,721 000 005 632 × 2 = 1 + 0,442 000 011 264;
  • 44) 0,442 000 011 264 × 2 = 0 + 0,884 000 022 528;
  • 45) 0,884 000 022 528 × 2 = 1 + 0,768 000 045 056;
  • 46) 0,768 000 045 056 × 2 = 1 + 0,536 000 090 112;
  • 47) 0,536 000 090 112 × 2 = 1 + 0,072 000 180 224;
  • 48) 0,072 000 180 224 × 2 = 0 + 0,144 000 360 448;
  • 49) 0,144 000 360 448 × 2 = 0 + 0,288 000 720 896;
  • 50) 0,288 000 720 896 × 2 = 0 + 0,576 001 441 792;
  • 51) 0,576 001 441 792 × 2 = 1 + 0,152 002 883 584;
  • 52) 0,152 002 883 584 × 2 = 0 + 0,304 005 767 168;
  • 53) 0,304 005 767 168 × 2 = 0 + 0,608 011 534 336;
  • 54) 0,608 011 534 336 × 2 = 1 + 0,216 023 068 672;
  • 55) 0,216 023 068 672 × 2 = 0 + 0,432 046 137 344;
  • 56) 0,432 046 137 344 × 2 = 0 + 0,864 092 274 688;
  • 57) 0,864 092 274 688 × 2 = 1 + 0,728 184 549 376;
  • 58) 0,728 184 549 376 × 2 = 1 + 0,456 369 098 752;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,026 916 503 895 5(10) =


0,0000 0110 1110 0011 1111 1111 1111 1111 1111 0100 0010 1110 0010 0100 11(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,026 916 503 895 5(10) =


0,0000 0110 1110 0011 1111 1111 1111 1111 1111 0100 0010 1110 0010 0100 11(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,026 916 503 895 5(10) =


0,0000 0110 1110 0011 1111 1111 1111 1111 1111 0100 0010 1110 0010 0100 11(2) =


0,0000 0110 1110 0011 1111 1111 1111 1111 1111 0100 0010 1110 0010 0100 11(2) × 20 =


1,1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1101 0000 1011 1000 1001 0011(2) × 2-6


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)


Exponent (neajustat): -6


Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1101 0000 1011 1000 1001 0011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =


Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =


-6 + 2(11-1) - 1 =


(-6 + 1 023)(10) =


1 017(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =


1017(10) =


011 1111 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.


b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =


1. 1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1101 0000 1011 1000 1001 0011 =


1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1101 0000 1011 1000 1001 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)


Exponent (11 biți) =
011 1111 1001


Mantisă (52 biți) =
1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1101 0000 1011 1000 1001 0011


Numărul zecimal în baza zece 0,026 916 503 895 5 convertit și scris în binar în representarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1001 - 1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1101 0000 1011 1000 1001 0011

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100