0,026 916 503 899 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,026 916 503 899 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,026 916 503 899 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,026 916 503 899 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,026 916 503 899 9 × 2 = 0 + 0,053 833 007 799 8;
  • 2) 0,053 833 007 799 8 × 2 = 0 + 0,107 666 015 599 6;
  • 3) 0,107 666 015 599 6 × 2 = 0 + 0,215 332 031 199 2;
  • 4) 0,215 332 031 199 2 × 2 = 0 + 0,430 664 062 398 4;
  • 5) 0,430 664 062 398 4 × 2 = 0 + 0,861 328 124 796 8;
  • 6) 0,861 328 124 796 8 × 2 = 1 + 0,722 656 249 593 6;
  • 7) 0,722 656 249 593 6 × 2 = 1 + 0,445 312 499 187 2;
  • 8) 0,445 312 499 187 2 × 2 = 0 + 0,890 624 998 374 4;
  • 9) 0,890 624 998 374 4 × 2 = 1 + 0,781 249 996 748 8;
  • 10) 0,781 249 996 748 8 × 2 = 1 + 0,562 499 993 497 6;
  • 11) 0,562 499 993 497 6 × 2 = 1 + 0,124 999 986 995 2;
  • 12) 0,124 999 986 995 2 × 2 = 0 + 0,249 999 973 990 4;
  • 13) 0,249 999 973 990 4 × 2 = 0 + 0,499 999 947 980 8;
  • 14) 0,499 999 947 980 8 × 2 = 0 + 0,999 999 895 961 6;
  • 15) 0,999 999 895 961 6 × 2 = 1 + 0,999 999 791 923 2;
  • 16) 0,999 999 791 923 2 × 2 = 1 + 0,999 999 583 846 4;
  • 17) 0,999 999 583 846 4 × 2 = 1 + 0,999 999 167 692 8;
  • 18) 0,999 999 167 692 8 × 2 = 1 + 0,999 998 335 385 6;
  • 19) 0,999 998 335 385 6 × 2 = 1 + 0,999 996 670 771 2;
  • 20) 0,999 996 670 771 2 × 2 = 1 + 0,999 993 341 542 4;
  • 21) 0,999 993 341 542 4 × 2 = 1 + 0,999 986 683 084 8;
  • 22) 0,999 986 683 084 8 × 2 = 1 + 0,999 973 366 169 6;
  • 23) 0,999 973 366 169 6 × 2 = 1 + 0,999 946 732 339 2;
  • 24) 0,999 946 732 339 2 × 2 = 1 + 0,999 893 464 678 4;
  • 25) 0,999 893 464 678 4 × 2 = 1 + 0,999 786 929 356 8;
  • 26) 0,999 786 929 356 8 × 2 = 1 + 0,999 573 858 713 6;
  • 27) 0,999 573 858 713 6 × 2 = 1 + 0,999 147 717 427 2;
  • 28) 0,999 147 717 427 2 × 2 = 1 + 0,998 295 434 854 4;
  • 29) 0,998 295 434 854 4 × 2 = 1 + 0,996 590 869 708 8;
  • 30) 0,996 590 869 708 8 × 2 = 1 + 0,993 181 739 417 6;
  • 31) 0,993 181 739 417 6 × 2 = 1 + 0,986 363 478 835 2;
  • 32) 0,986 363 478 835 2 × 2 = 1 + 0,972 726 957 670 4;
  • 33) 0,972 726 957 670 4 × 2 = 1 + 0,945 453 915 340 8;
  • 34) 0,945 453 915 340 8 × 2 = 1 + 0,890 907 830 681 6;
  • 35) 0,890 907 830 681 6 × 2 = 1 + 0,781 815 661 363 2;
  • 36) 0,781 815 661 363 2 × 2 = 1 + 0,563 631 322 726 4;
  • 37) 0,563 631 322 726 4 × 2 = 1 + 0,127 262 645 452 8;
  • 38) 0,127 262 645 452 8 × 2 = 0 + 0,254 525 290 905 6;
  • 39) 0,254 525 290 905 6 × 2 = 0 + 0,509 050 581 811 2;
  • 40) 0,509 050 581 811 2 × 2 = 1 + 0,018 101 163 622 4;
  • 41) 0,018 101 163 622 4 × 2 = 0 + 0,036 202 327 244 8;
  • 42) 0,036 202 327 244 8 × 2 = 0 + 0,072 404 654 489 6;
  • 43) 0,072 404 654 489 6 × 2 = 0 + 0,144 809 308 979 2;
  • 44) 0,144 809 308 979 2 × 2 = 0 + 0,289 618 617 958 4;
  • 45) 0,289 618 617 958 4 × 2 = 0 + 0,579 237 235 916 8;
  • 46) 0,579 237 235 916 8 × 2 = 1 + 0,158 474 471 833 6;
  • 47) 0,158 474 471 833 6 × 2 = 0 + 0,316 948 943 667 2;
  • 48) 0,316 948 943 667 2 × 2 = 0 + 0,633 897 887 334 4;
  • 49) 0,633 897 887 334 4 × 2 = 1 + 0,267 795 774 668 8;
  • 50) 0,267 795 774 668 8 × 2 = 0 + 0,535 591 549 337 6;
  • 51) 0,535 591 549 337 6 × 2 = 1 + 0,071 183 098 675 2;
  • 52) 0,071 183 098 675 2 × 2 = 0 + 0,142 366 197 350 4;
  • 53) 0,142 366 197 350 4 × 2 = 0 + 0,284 732 394 700 8;
  • 54) 0,284 732 394 700 8 × 2 = 0 + 0,569 464 789 401 6;
  • 55) 0,569 464 789 401 6 × 2 = 1 + 0,138 929 578 803 2;
  • 56) 0,138 929 578 803 2 × 2 = 0 + 0,277 859 157 606 4;
  • 57) 0,277 859 157 606 4 × 2 = 0 + 0,555 718 315 212 8;
  • 58) 0,555 718 315 212 8 × 2 = 1 + 0,111 436 630 425 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,026 916 503 899 9(10) =

0,0000 0110 1110 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1001 0000 0100 1010 0010 01(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,026 916 503 899 9(10) =

0,0000 0110 1110 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1001 0000 0100 1010 0010 01(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,026 916 503 899 9(10) =

0,0000 0110 1110 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1001 0000 0100 1010 0010 01(2) =

0,0000 0110 1110 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1001 0000 0100 1010 0010 01(2) × 20 =

1,1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0100 0001 0010 1000 1001(2) × 2-6


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0100 0001 0010 1000 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0100 0001 0010 1000 1001 =

1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0100 0001 0010 1000 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0100 0001 0010 1000 1001


Numărul zecimal 0,026 916 503 899 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1001 - 1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0100 0001 0010 1000 1001

Distribuie

» Scriere 0,026 916 503 899 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100