0,052 097 324 398 346 245 299 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,052 097 324 398 346 245 299 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,052 097 324 398 346 245 299 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,052 097 324 398 346 245 299 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,052 097 324 398 346 245 299 8 × 2 = 0 + 0,104 194 648 796 692 490 599 6;
  • 2) 0,104 194 648 796 692 490 599 6 × 2 = 0 + 0,208 389 297 593 384 981 199 2;
  • 3) 0,208 389 297 593 384 981 199 2 × 2 = 0 + 0,416 778 595 186 769 962 398 4;
  • 4) 0,416 778 595 186 769 962 398 4 × 2 = 0 + 0,833 557 190 373 539 924 796 8;
  • 5) 0,833 557 190 373 539 924 796 8 × 2 = 1 + 0,667 114 380 747 079 849 593 6;
  • 6) 0,667 114 380 747 079 849 593 6 × 2 = 1 + 0,334 228 761 494 159 699 187 2;
  • 7) 0,334 228 761 494 159 699 187 2 × 2 = 0 + 0,668 457 522 988 319 398 374 4;
  • 8) 0,668 457 522 988 319 398 374 4 × 2 = 1 + 0,336 915 045 976 638 796 748 8;
  • 9) 0,336 915 045 976 638 796 748 8 × 2 = 0 + 0,673 830 091 953 277 593 497 6;
  • 10) 0,673 830 091 953 277 593 497 6 × 2 = 1 + 0,347 660 183 906 555 186 995 2;
  • 11) 0,347 660 183 906 555 186 995 2 × 2 = 0 + 0,695 320 367 813 110 373 990 4;
  • 12) 0,695 320 367 813 110 373 990 4 × 2 = 1 + 0,390 640 735 626 220 747 980 8;
  • 13) 0,390 640 735 626 220 747 980 8 × 2 = 0 + 0,781 281 471 252 441 495 961 6;
  • 14) 0,781 281 471 252 441 495 961 6 × 2 = 1 + 0,562 562 942 504 882 991 923 2;
  • 15) 0,562 562 942 504 882 991 923 2 × 2 = 1 + 0,125 125 885 009 765 983 846 4;
  • 16) 0,125 125 885 009 765 983 846 4 × 2 = 0 + 0,250 251 770 019 531 967 692 8;
  • 17) 0,250 251 770 019 531 967 692 8 × 2 = 0 + 0,500 503 540 039 063 935 385 6;
  • 18) 0,500 503 540 039 063 935 385 6 × 2 = 1 + 0,001 007 080 078 127 870 771 2;
  • 19) 0,001 007 080 078 127 870 771 2 × 2 = 0 + 0,002 014 160 156 255 741 542 4;
  • 20) 0,002 014 160 156 255 741 542 4 × 2 = 0 + 0,004 028 320 312 511 483 084 8;
  • 21) 0,004 028 320 312 511 483 084 8 × 2 = 0 + 0,008 056 640 625 022 966 169 6;
  • 22) 0,008 056 640 625 022 966 169 6 × 2 = 0 + 0,016 113 281 250 045 932 339 2;
  • 23) 0,016 113 281 250 045 932 339 2 × 2 = 0 + 0,032 226 562 500 091 864 678 4;
  • 24) 0,032 226 562 500 091 864 678 4 × 2 = 0 + 0,064 453 125 000 183 729 356 8;
  • 25) 0,064 453 125 000 183 729 356 8 × 2 = 0 + 0,128 906 250 000 367 458 713 6;
  • 26) 0,128 906 250 000 367 458 713 6 × 2 = 0 + 0,257 812 500 000 734 917 427 2;
  • 27) 0,257 812 500 000 734 917 427 2 × 2 = 0 + 0,515 625 000 001 469 834 854 4;
  • 28) 0,515 625 000 001 469 834 854 4 × 2 = 1 + 0,031 250 000 002 939 669 708 8;
  • 29) 0,031 250 000 002 939 669 708 8 × 2 = 0 + 0,062 500 000 005 879 339 417 6;
  • 30) 0,062 500 000 005 879 339 417 6 × 2 = 0 + 0,125 000 000 011 758 678 835 2;
  • 31) 0,125 000 000 011 758 678 835 2 × 2 = 0 + 0,250 000 000 023 517 357 670 4;
  • 32) 0,250 000 000 023 517 357 670 4 × 2 = 0 + 0,500 000 000 047 034 715 340 8;
  • 33) 0,500 000 000 047 034 715 340 8 × 2 = 1 + 0,000 000 000 094 069 430 681 6;
  • 34) 0,000 000 000 094 069 430 681 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 188 138 861 363 2;
  • 35) 0,000 000 000 188 138 861 363 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 376 277 722 726 4;
  • 36) 0,000 000 000 376 277 722 726 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 752 555 445 452 8;
  • 37) 0,000 000 000 752 555 445 452 8 × 2 = 0 + 0,000 000 001 505 110 890 905 6;
  • 38) 0,000 000 001 505 110 890 905 6 × 2 = 0 + 0,000 000 003 010 221 781 811 2;
  • 39) 0,000 000 003 010 221 781 811 2 × 2 = 0 + 0,000 000 006 020 443 563 622 4;
  • 40) 0,000 000 006 020 443 563 622 4 × 2 = 0 + 0,000 000 012 040 887 127 244 8;
  • 41) 0,000 000 012 040 887 127 244 8 × 2 = 0 + 0,000 000 024 081 774 254 489 6;
  • 42) 0,000 000 024 081 774 254 489 6 × 2 = 0 + 0,000 000 048 163 548 508 979 2;
  • 43) 0,000 000 048 163 548 508 979 2 × 2 = 0 + 0,000 000 096 327 097 017 958 4;
  • 44) 0,000 000 096 327 097 017 958 4 × 2 = 0 + 0,000 000 192 654 194 035 916 8;
  • 45) 0,000 000 192 654 194 035 916 8 × 2 = 0 + 0,000 000 385 308 388 071 833 6;
  • 46) 0,000 000 385 308 388 071 833 6 × 2 = 0 + 0,000 000 770 616 776 143 667 2;
  • 47) 0,000 000 770 616 776 143 667 2 × 2 = 0 + 0,000 001 541 233 552 287 334 4;
  • 48) 0,000 001 541 233 552 287 334 4 × 2 = 0 + 0,000 003 082 467 104 574 668 8;
  • 49) 0,000 003 082 467 104 574 668 8 × 2 = 0 + 0,000 006 164 934 209 149 337 6;
  • 50) 0,000 006 164 934 209 149 337 6 × 2 = 0 + 0,000 012 329 868 418 298 675 2;
  • 51) 0,000 012 329 868 418 298 675 2 × 2 = 0 + 0,000 024 659 736 836 597 350 4;
  • 52) 0,000 024 659 736 836 597 350 4 × 2 = 0 + 0,000 049 319 473 673 194 700 8;
  • 53) 0,000 049 319 473 673 194 700 8 × 2 = 0 + 0,000 098 638 947 346 389 401 6;
  • 54) 0,000 098 638 947 346 389 401 6 × 2 = 0 + 0,000 197 277 894 692 778 803 2;
  • 55) 0,000 197 277 894 692 778 803 2 × 2 = 0 + 0,000 394 555 789 385 557 606 4;
  • 56) 0,000 394 555 789 385 557 606 4 × 2 = 0 + 0,000 789 111 578 771 115 212 8;
  • 57) 0,000 789 111 578 771 115 212 8 × 2 = 0 + 0,001 578 223 157 542 230 425 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,052 097 324 398 346 245 299 8(10) =

0,0000 1101 0101 0110 0100 0000 0001 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,052 097 324 398 346 245 299 8(10) =

0,0000 1101 0101 0110 0100 0000 0001 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,052 097 324 398 346 245 299 8(10) =

0,0000 1101 0101 0110 0100 0000 0001 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0(2) =

0,0000 1101 0101 0110 0100 0000 0001 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0(2) × 20 =

1,1010 1010 1100 1000 0000 0010 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000(2) × 2-5


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -5

Mantisă (nenormalizată):
1,1010 1010 1100 1000 0000 0010 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-5 + 2(11-1) - 1 =

(-5 + 1 023)(10) =

1 018(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 018 : 2 = 509 + 0;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1018(10) =

011 1111 1010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1010 1010 1100 1000 0000 0010 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 =

1010 1010 1100 1000 0000 0010 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1010

Mantisă (52 biți) =
1010 1010 1100 1000 0000 0010 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000


Numărul zecimal 0,052 097 324 398 346 245 299 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1010 - 1010 1010 1100 1000 0000 0010 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000

Distribuie

» Scriere 0,052 097 324 398 346 245 291 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100