0,099 182 195 961 597 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,099 182 195 961 597(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,099 182 195 961 597(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,099 182 195 961 597.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,099 182 195 961 597 × 2 = 0 + 0,198 364 391 923 194;
  • 2) 0,198 364 391 923 194 × 2 = 0 + 0,396 728 783 846 388;
  • 3) 0,396 728 783 846 388 × 2 = 0 + 0,793 457 567 692 776;
  • 4) 0,793 457 567 692 776 × 2 = 1 + 0,586 915 135 385 552;
  • 5) 0,586 915 135 385 552 × 2 = 1 + 0,173 830 270 771 104;
  • 6) 0,173 830 270 771 104 × 2 = 0 + 0,347 660 541 542 208;
  • 7) 0,347 660 541 542 208 × 2 = 0 + 0,695 321 083 084 416;
  • 8) 0,695 321 083 084 416 × 2 = 1 + 0,390 642 166 168 832;
  • 9) 0,390 642 166 168 832 × 2 = 0 + 0,781 284 332 337 664;
  • 10) 0,781 284 332 337 664 × 2 = 1 + 0,562 568 664 675 328;
  • 11) 0,562 568 664 675 328 × 2 = 1 + 0,125 137 329 350 656;
  • 12) 0,125 137 329 350 656 × 2 = 0 + 0,250 274 658 701 312;
  • 13) 0,250 274 658 701 312 × 2 = 0 + 0,500 549 317 402 624;
  • 14) 0,500 549 317 402 624 × 2 = 1 + 0,001 098 634 805 248;
  • 15) 0,001 098 634 805 248 × 2 = 0 + 0,002 197 269 610 496;
  • 16) 0,002 197 269 610 496 × 2 = 0 + 0,004 394 539 220 992;
  • 17) 0,004 394 539 220 992 × 2 = 0 + 0,008 789 078 441 984;
  • 18) 0,008 789 078 441 984 × 2 = 0 + 0,017 578 156 883 968;
  • 19) 0,017 578 156 883 968 × 2 = 0 + 0,035 156 313 767 936;
  • 20) 0,035 156 313 767 936 × 2 = 0 + 0,070 312 627 535 872;
  • 21) 0,070 312 627 535 872 × 2 = 0 + 0,140 625 255 071 744;
  • 22) 0,140 625 255 071 744 × 2 = 0 + 0,281 250 510 143 488;
  • 23) 0,281 250 510 143 488 × 2 = 0 + 0,562 501 020 286 976;
  • 24) 0,562 501 020 286 976 × 2 = 1 + 0,125 002 040 573 952;
  • 25) 0,125 002 040 573 952 × 2 = 0 + 0,250 004 081 147 904;
  • 26) 0,250 004 081 147 904 × 2 = 0 + 0,500 008 162 295 808;
  • 27) 0,500 008 162 295 808 × 2 = 1 + 0,000 016 324 591 616;
  • 28) 0,000 016 324 591 616 × 2 = 0 + 0,000 032 649 183 232;
  • 29) 0,000 032 649 183 232 × 2 = 0 + 0,000 065 298 366 464;
  • 30) 0,000 065 298 366 464 × 2 = 0 + 0,000 130 596 732 928;
  • 31) 0,000 130 596 732 928 × 2 = 0 + 0,000 261 193 465 856;
  • 32) 0,000 261 193 465 856 × 2 = 0 + 0,000 522 386 931 712;
  • 33) 0,000 522 386 931 712 × 2 = 0 + 0,001 044 773 863 424;
  • 34) 0,001 044 773 863 424 × 2 = 0 + 0,002 089 547 726 848;
  • 35) 0,002 089 547 726 848 × 2 = 0 + 0,004 179 095 453 696;
  • 36) 0,004 179 095 453 696 × 2 = 0 + 0,008 358 190 907 392;
  • 37) 0,008 358 190 907 392 × 2 = 0 + 0,016 716 381 814 784;
  • 38) 0,016 716 381 814 784 × 2 = 0 + 0,033 432 763 629 568;
  • 39) 0,033 432 763 629 568 × 2 = 0 + 0,066 865 527 259 136;
  • 40) 0,066 865 527 259 136 × 2 = 0 + 0,133 731 054 518 272;
  • 41) 0,133 731 054 518 272 × 2 = 0 + 0,267 462 109 036 544;
  • 42) 0,267 462 109 036 544 × 2 = 0 + 0,534 924 218 073 088;
  • 43) 0,534 924 218 073 088 × 2 = 1 + 0,069 848 436 146 176;
  • 44) 0,069 848 436 146 176 × 2 = 0 + 0,139 696 872 292 352;
  • 45) 0,139 696 872 292 352 × 2 = 0 + 0,279 393 744 584 704;
  • 46) 0,279 393 744 584 704 × 2 = 0 + 0,558 787 489 169 408;
  • 47) 0,558 787 489 169 408 × 2 = 1 + 0,117 574 978 338 816;
  • 48) 0,117 574 978 338 816 × 2 = 0 + 0,235 149 956 677 632;
  • 49) 0,235 149 956 677 632 × 2 = 0 + 0,470 299 913 355 264;
  • 50) 0,470 299 913 355 264 × 2 = 0 + 0,940 599 826 710 528;
  • 51) 0,940 599 826 710 528 × 2 = 1 + 0,881 199 653 421 056;
  • 52) 0,881 199 653 421 056 × 2 = 1 + 0,762 399 306 842 112;
  • 53) 0,762 399 306 842 112 × 2 = 1 + 0,524 798 613 684 224;
  • 54) 0,524 798 613 684 224 × 2 = 1 + 0,049 597 227 368 448;
  • 55) 0,049 597 227 368 448 × 2 = 0 + 0,099 194 454 736 896;
  • 56) 0,099 194 454 736 896 × 2 = 0 + 0,198 388 909 473 792;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,099 182 195 961 597(10) =

0,0001 1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 0010 0011 1100(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,099 182 195 961 597(10) =

0,0001 1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 0010 0011 1100(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,099 182 195 961 597(10) =

0,0001 1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 0010 0011 1100(2) =

0,0001 1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 0010 0011 1100(2) × 20 =

1,1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 0010 0011 1100(2) × 2-4


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -4

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 0010 0011 1100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-4 + 2(11-1) - 1 =

(-4 + 1 023)(10) =

1 019(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 019 : 2 = 509 + 1;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1019(10) =

011 1111 1011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 0010 0011 1100 =

1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 0010 0011 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1011

Mantisă (52 biți) =
1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 0010 0011 1100


Numărul zecimal 0,099 182 195 961 597 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1011 - 1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 0010 0011 1100

Distribuie

» Scriere 0,099 182 195 961 672 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100