0,099 999 999 999 997 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,099 999 999 999 997 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,099 999 999 999 997 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,099 999 999 999 997 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,099 999 999 999 997 9 × 2 = 0 + 0,199 999 999 999 995 8;
  • 2) 0,199 999 999 999 995 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 991 6;
  • 3) 0,399 999 999 999 991 6 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 983 2;
  • 4) 0,799 999 999 999 983 2 × 2 = 1 + 0,599 999 999 999 966 4;
  • 5) 0,599 999 999 999 966 4 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 932 8;
  • 6) 0,199 999 999 999 932 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 865 6;
  • 7) 0,399 999 999 999 865 6 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 731 2;
  • 8) 0,799 999 999 999 731 2 × 2 = 1 + 0,599 999 999 999 462 4;
  • 9) 0,599 999 999 999 462 4 × 2 = 1 + 0,199 999 999 998 924 8;
  • 10) 0,199 999 999 998 924 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 997 849 6;
  • 11) 0,399 999 999 997 849 6 × 2 = 0 + 0,799 999 999 995 699 2;
  • 12) 0,799 999 999 995 699 2 × 2 = 1 + 0,599 999 999 991 398 4;
  • 13) 0,599 999 999 991 398 4 × 2 = 1 + 0,199 999 999 982 796 8;
  • 14) 0,199 999 999 982 796 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 965 593 6;
  • 15) 0,399 999 999 965 593 6 × 2 = 0 + 0,799 999 999 931 187 2;
  • 16) 0,799 999 999 931 187 2 × 2 = 1 + 0,599 999 999 862 374 4;
  • 17) 0,599 999 999 862 374 4 × 2 = 1 + 0,199 999 999 724 748 8;
  • 18) 0,199 999 999 724 748 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 449 497 6;
  • 19) 0,399 999 999 449 497 6 × 2 = 0 + 0,799 999 998 898 995 2;
  • 20) 0,799 999 998 898 995 2 × 2 = 1 + 0,599 999 997 797 990 4;
  • 21) 0,599 999 997 797 990 4 × 2 = 1 + 0,199 999 995 595 980 8;
  • 22) 0,199 999 995 595 980 8 × 2 = 0 + 0,399 999 991 191 961 6;
  • 23) 0,399 999 991 191 961 6 × 2 = 0 + 0,799 999 982 383 923 2;
  • 24) 0,799 999 982 383 923 2 × 2 = 1 + 0,599 999 964 767 846 4;
  • 25) 0,599 999 964 767 846 4 × 2 = 1 + 0,199 999 929 535 692 8;
  • 26) 0,199 999 929 535 692 8 × 2 = 0 + 0,399 999 859 071 385 6;
  • 27) 0,399 999 859 071 385 6 × 2 = 0 + 0,799 999 718 142 771 2;
  • 28) 0,799 999 718 142 771 2 × 2 = 1 + 0,599 999 436 285 542 4;
  • 29) 0,599 999 436 285 542 4 × 2 = 1 + 0,199 998 872 571 084 8;
  • 30) 0,199 998 872 571 084 8 × 2 = 0 + 0,399 997 745 142 169 6;
  • 31) 0,399 997 745 142 169 6 × 2 = 0 + 0,799 995 490 284 339 2;
  • 32) 0,799 995 490 284 339 2 × 2 = 1 + 0,599 990 980 568 678 4;
  • 33) 0,599 990 980 568 678 4 × 2 = 1 + 0,199 981 961 137 356 8;
  • 34) 0,199 981 961 137 356 8 × 2 = 0 + 0,399 963 922 274 713 6;
  • 35) 0,399 963 922 274 713 6 × 2 = 0 + 0,799 927 844 549 427 2;
  • 36) 0,799 927 844 549 427 2 × 2 = 1 + 0,599 855 689 098 854 4;
  • 37) 0,599 855 689 098 854 4 × 2 = 1 + 0,199 711 378 197 708 8;
  • 38) 0,199 711 378 197 708 8 × 2 = 0 + 0,399 422 756 395 417 6;
  • 39) 0,399 422 756 395 417 6 × 2 = 0 + 0,798 845 512 790 835 2;
  • 40) 0,798 845 512 790 835 2 × 2 = 1 + 0,597 691 025 581 670 4;
  • 41) 0,597 691 025 581 670 4 × 2 = 1 + 0,195 382 051 163 340 8;
  • 42) 0,195 382 051 163 340 8 × 2 = 0 + 0,390 764 102 326 681 6;
  • 43) 0,390 764 102 326 681 6 × 2 = 0 + 0,781 528 204 653 363 2;
  • 44) 0,781 528 204 653 363 2 × 2 = 1 + 0,563 056 409 306 726 4;
  • 45) 0,563 056 409 306 726 4 × 2 = 1 + 0,126 112 818 613 452 8;
  • 46) 0,126 112 818 613 452 8 × 2 = 0 + 0,252 225 637 226 905 6;
  • 47) 0,252 225 637 226 905 6 × 2 = 0 + 0,504 451 274 453 811 2;
  • 48) 0,504 451 274 453 811 2 × 2 = 1 + 0,008 902 548 907 622 4;
  • 49) 0,008 902 548 907 622 4 × 2 = 0 + 0,017 805 097 815 244 8;
  • 50) 0,017 805 097 815 244 8 × 2 = 0 + 0,035 610 195 630 489 6;
  • 51) 0,035 610 195 630 489 6 × 2 = 0 + 0,071 220 391 260 979 2;
  • 52) 0,071 220 391 260 979 2 × 2 = 0 + 0,142 440 782 521 958 4;
  • 53) 0,142 440 782 521 958 4 × 2 = 0 + 0,284 881 565 043 916 8;
  • 54) 0,284 881 565 043 916 8 × 2 = 0 + 0,569 763 130 087 833 6;
  • 55) 0,569 763 130 087 833 6 × 2 = 1 + 0,139 526 260 175 667 2;
  • 56) 0,139 526 260 175 667 2 × 2 = 0 + 0,279 052 520 351 334 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,099 999 999 999 997 9(10) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,099 999 999 999 997 9(10) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,099 999 999 999 997 9(10) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0010(2) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0010(2) × 20 =

1,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0010(2) × 2-4


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -4

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-4 + 2(11-1) - 1 =

(-4 + 1 023)(10) =

1 019(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 019 : 2 = 509 + 1;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1019(10) =

011 1111 1011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0010 =

1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1011

Mantisă (52 biți) =
1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0010


Numărul zecimal 0,099 999 999 999 997 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1011 - 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 0010

» Scriere 0,099 999 999 999 991 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100