0,099 999 999 999 998 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,099 999 999 999 998 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,099 999 999 999 998 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,099 999 999 999 998 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,099 999 999 999 998 4 × 2 = 0 + 0,199 999 999 999 996 8;
  • 2) 0,199 999 999 999 996 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 993 6;
  • 3) 0,399 999 999 999 993 6 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 987 2;
  • 4) 0,799 999 999 999 987 2 × 2 = 1 + 0,599 999 999 999 974 4;
  • 5) 0,599 999 999 999 974 4 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 948 8;
  • 6) 0,199 999 999 999 948 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 897 6;
  • 7) 0,399 999 999 999 897 6 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 795 2;
  • 8) 0,799 999 999 999 795 2 × 2 = 1 + 0,599 999 999 999 590 4;
  • 9) 0,599 999 999 999 590 4 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 180 8;
  • 10) 0,199 999 999 999 180 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 998 361 6;
  • 11) 0,399 999 999 998 361 6 × 2 = 0 + 0,799 999 999 996 723 2;
  • 12) 0,799 999 999 996 723 2 × 2 = 1 + 0,599 999 999 993 446 4;
  • 13) 0,599 999 999 993 446 4 × 2 = 1 + 0,199 999 999 986 892 8;
  • 14) 0,199 999 999 986 892 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 973 785 6;
  • 15) 0,399 999 999 973 785 6 × 2 = 0 + 0,799 999 999 947 571 2;
  • 16) 0,799 999 999 947 571 2 × 2 = 1 + 0,599 999 999 895 142 4;
  • 17) 0,599 999 999 895 142 4 × 2 = 1 + 0,199 999 999 790 284 8;
  • 18) 0,199 999 999 790 284 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 580 569 6;
  • 19) 0,399 999 999 580 569 6 × 2 = 0 + 0,799 999 999 161 139 2;
  • 20) 0,799 999 999 161 139 2 × 2 = 1 + 0,599 999 998 322 278 4;
  • 21) 0,599 999 998 322 278 4 × 2 = 1 + 0,199 999 996 644 556 8;
  • 22) 0,199 999 996 644 556 8 × 2 = 0 + 0,399 999 993 289 113 6;
  • 23) 0,399 999 993 289 113 6 × 2 = 0 + 0,799 999 986 578 227 2;
  • 24) 0,799 999 986 578 227 2 × 2 = 1 + 0,599 999 973 156 454 4;
  • 25) 0,599 999 973 156 454 4 × 2 = 1 + 0,199 999 946 312 908 8;
  • 26) 0,199 999 946 312 908 8 × 2 = 0 + 0,399 999 892 625 817 6;
  • 27) 0,399 999 892 625 817 6 × 2 = 0 + 0,799 999 785 251 635 2;
  • 28) 0,799 999 785 251 635 2 × 2 = 1 + 0,599 999 570 503 270 4;
  • 29) 0,599 999 570 503 270 4 × 2 = 1 + 0,199 999 141 006 540 8;
  • 30) 0,199 999 141 006 540 8 × 2 = 0 + 0,399 998 282 013 081 6;
  • 31) 0,399 998 282 013 081 6 × 2 = 0 + 0,799 996 564 026 163 2;
  • 32) 0,799 996 564 026 163 2 × 2 = 1 + 0,599 993 128 052 326 4;
  • 33) 0,599 993 128 052 326 4 × 2 = 1 + 0,199 986 256 104 652 8;
  • 34) 0,199 986 256 104 652 8 × 2 = 0 + 0,399 972 512 209 305 6;
  • 35) 0,399 972 512 209 305 6 × 2 = 0 + 0,799 945 024 418 611 2;
  • 36) 0,799 945 024 418 611 2 × 2 = 1 + 0,599 890 048 837 222 4;
  • 37) 0,599 890 048 837 222 4 × 2 = 1 + 0,199 780 097 674 444 8;
  • 38) 0,199 780 097 674 444 8 × 2 = 0 + 0,399 560 195 348 889 6;
  • 39) 0,399 560 195 348 889 6 × 2 = 0 + 0,799 120 390 697 779 2;
  • 40) 0,799 120 390 697 779 2 × 2 = 1 + 0,598 240 781 395 558 4;
  • 41) 0,598 240 781 395 558 4 × 2 = 1 + 0,196 481 562 791 116 8;
  • 42) 0,196 481 562 791 116 8 × 2 = 0 + 0,392 963 125 582 233 6;
  • 43) 0,392 963 125 582 233 6 × 2 = 0 + 0,785 926 251 164 467 2;
  • 44) 0,785 926 251 164 467 2 × 2 = 1 + 0,571 852 502 328 934 4;
  • 45) 0,571 852 502 328 934 4 × 2 = 1 + 0,143 705 004 657 868 8;
  • 46) 0,143 705 004 657 868 8 × 2 = 0 + 0,287 410 009 315 737 6;
  • 47) 0,287 410 009 315 737 6 × 2 = 0 + 0,574 820 018 631 475 2;
  • 48) 0,574 820 018 631 475 2 × 2 = 1 + 0,149 640 037 262 950 4;
  • 49) 0,149 640 037 262 950 4 × 2 = 0 + 0,299 280 074 525 900 8;
  • 50) 0,299 280 074 525 900 8 × 2 = 0 + 0,598 560 149 051 801 6;
  • 51) 0,598 560 149 051 801 6 × 2 = 1 + 0,197 120 298 103 603 2;
  • 52) 0,197 120 298 103 603 2 × 2 = 0 + 0,394 240 596 207 206 4;
  • 53) 0,394 240 596 207 206 4 × 2 = 0 + 0,788 481 192 414 412 8;
  • 54) 0,788 481 192 414 412 8 × 2 = 1 + 0,576 962 384 828 825 6;
  • 55) 0,576 962 384 828 825 6 × 2 = 1 + 0,153 924 769 657 651 2;
  • 56) 0,153 924 769 657 651 2 × 2 = 0 + 0,307 849 539 315 302 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,099 999 999 999 998 4(10) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0010 0110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,099 999 999 999 998 4(10) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0010 0110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,099 999 999 999 998 4(10) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0010 0110(2) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0010 0110(2) × 20 =

1,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0010 0110(2) × 2-4


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -4

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0010 0110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-4 + 2(11-1) - 1 =

(-4 + 1 023)(10) =

1 019(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 019 : 2 = 509 + 1;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1019(10) =

011 1111 1011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0010 0110 =

1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0010 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1011

Mantisă (52 biți) =
1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0010 0110


Numărul zecimal 0,099 999 999 999 998 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1011 - 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0010 0110

» Scriere 0,099 999 999 999 997 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100