0,101 010 101 010 101 010 123 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,101 010 101 010 101 010 123(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,101 010 101 010 101 010 123(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,101 010 101 010 101 010 123.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,101 010 101 010 101 010 123 × 2 = 0 + 0,202 020 202 020 202 020 246;
  • 2) 0,202 020 202 020 202 020 246 × 2 = 0 + 0,404 040 404 040 404 040 492;
  • 3) 0,404 040 404 040 404 040 492 × 2 = 0 + 0,808 080 808 080 808 080 984;
  • 4) 0,808 080 808 080 808 080 984 × 2 = 1 + 0,616 161 616 161 616 161 968;
  • 5) 0,616 161 616 161 616 161 968 × 2 = 1 + 0,232 323 232 323 232 323 936;
  • 6) 0,232 323 232 323 232 323 936 × 2 = 0 + 0,464 646 464 646 464 647 872;
  • 7) 0,464 646 464 646 464 647 872 × 2 = 0 + 0,929 292 929 292 929 295 744;
  • 8) 0,929 292 929 292 929 295 744 × 2 = 1 + 0,858 585 858 585 858 591 488;
  • 9) 0,858 585 858 585 858 591 488 × 2 = 1 + 0,717 171 717 171 717 182 976;
  • 10) 0,717 171 717 171 717 182 976 × 2 = 1 + 0,434 343 434 343 434 365 952;
  • 11) 0,434 343 434 343 434 365 952 × 2 = 0 + 0,868 686 868 686 868 731 904;
  • 12) 0,868 686 868 686 868 731 904 × 2 = 1 + 0,737 373 737 373 737 463 808;
  • 13) 0,737 373 737 373 737 463 808 × 2 = 1 + 0,474 747 474 747 474 927 616;
  • 14) 0,474 747 474 747 474 927 616 × 2 = 0 + 0,949 494 949 494 949 855 232;
  • 15) 0,949 494 949 494 949 855 232 × 2 = 1 + 0,898 989 898 989 899 710 464;
  • 16) 0,898 989 898 989 899 710 464 × 2 = 1 + 0,797 979 797 979 799 420 928;
  • 17) 0,797 979 797 979 799 420 928 × 2 = 1 + 0,595 959 595 959 598 841 856;
  • 18) 0,595 959 595 959 598 841 856 × 2 = 1 + 0,191 919 191 919 197 683 712;
  • 19) 0,191 919 191 919 197 683 712 × 2 = 0 + 0,383 838 383 838 395 367 424;
  • 20) 0,383 838 383 838 395 367 424 × 2 = 0 + 0,767 676 767 676 790 734 848;
  • 21) 0,767 676 767 676 790 734 848 × 2 = 1 + 0,535 353 535 353 581 469 696;
  • 22) 0,535 353 535 353 581 469 696 × 2 = 1 + 0,070 707 070 707 162 939 392;
  • 23) 0,070 707 070 707 162 939 392 × 2 = 0 + 0,141 414 141 414 325 878 784;
  • 24) 0,141 414 141 414 325 878 784 × 2 = 0 + 0,282 828 282 828 651 757 568;
  • 25) 0,282 828 282 828 651 757 568 × 2 = 0 + 0,565 656 565 657 303 515 136;
  • 26) 0,565 656 565 657 303 515 136 × 2 = 1 + 0,131 313 131 314 607 030 272;
  • 27) 0,131 313 131 314 607 030 272 × 2 = 0 + 0,262 626 262 629 214 060 544;
  • 28) 0,262 626 262 629 214 060 544 × 2 = 0 + 0,525 252 525 258 428 121 088;
  • 29) 0,525 252 525 258 428 121 088 × 2 = 1 + 0,050 505 050 516 856 242 176;
  • 30) 0,050 505 050 516 856 242 176 × 2 = 0 + 0,101 010 101 033 712 484 352;
  • 31) 0,101 010 101 033 712 484 352 × 2 = 0 + 0,202 020 202 067 424 968 704;
  • 32) 0,202 020 202 067 424 968 704 × 2 = 0 + 0,404 040 404 134 849 937 408;
  • 33) 0,404 040 404 134 849 937 408 × 2 = 0 + 0,808 080 808 269 699 874 816;
  • 34) 0,808 080 808 269 699 874 816 × 2 = 1 + 0,616 161 616 539 399 749 632;
  • 35) 0,616 161 616 539 399 749 632 × 2 = 1 + 0,232 323 233 078 799 499 264;
  • 36) 0,232 323 233 078 799 499 264 × 2 = 0 + 0,464 646 466 157 598 998 528;
  • 37) 0,464 646 466 157 598 998 528 × 2 = 0 + 0,929 292 932 315 197 997 056;
  • 38) 0,929 292 932 315 197 997 056 × 2 = 1 + 0,858 585 864 630 395 994 112;
  • 39) 0,858 585 864 630 395 994 112 × 2 = 1 + 0,717 171 729 260 791 988 224;
  • 40) 0,717 171 729 260 791 988 224 × 2 = 1 + 0,434 343 458 521 583 976 448;
  • 41) 0,434 343 458 521 583 976 448 × 2 = 0 + 0,868 686 917 043 167 952 896;
  • 42) 0,868 686 917 043 167 952 896 × 2 = 1 + 0,737 373 834 086 335 905 792;
  • 43) 0,737 373 834 086 335 905 792 × 2 = 1 + 0,474 747 668 172 671 811 584;
  • 44) 0,474 747 668 172 671 811 584 × 2 = 0 + 0,949 495 336 345 343 623 168;
  • 45) 0,949 495 336 345 343 623 168 × 2 = 1 + 0,898 990 672 690 687 246 336;
  • 46) 0,898 990 672 690 687 246 336 × 2 = 1 + 0,797 981 345 381 374 492 672;
  • 47) 0,797 981 345 381 374 492 672 × 2 = 1 + 0,595 962 690 762 748 985 344;
  • 48) 0,595 962 690 762 748 985 344 × 2 = 1 + 0,191 925 381 525 497 970 688;
  • 49) 0,191 925 381 525 497 970 688 × 2 = 0 + 0,383 850 763 050 995 941 376;
  • 50) 0,383 850 763 050 995 941 376 × 2 = 0 + 0,767 701 526 101 991 882 752;
  • 51) 0,767 701 526 101 991 882 752 × 2 = 1 + 0,535 403 052 203 983 765 504;
  • 52) 0,535 403 052 203 983 765 504 × 2 = 1 + 0,070 806 104 407 967 531 008;
  • 53) 0,070 806 104 407 967 531 008 × 2 = 0 + 0,141 612 208 815 935 062 016;
  • 54) 0,141 612 208 815 935 062 016 × 2 = 0 + 0,283 224 417 631 870 124 032;
  • 55) 0,283 224 417 631 870 124 032 × 2 = 0 + 0,566 448 835 263 740 248 064;
  • 56) 0,566 448 835 263 740 248 064 × 2 = 1 + 0,132 897 670 527 480 496 128;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,101 010 101 010 101 010 123(10) =

0,0001 1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,101 010 101 010 101 010 123(10) =

0,0001 1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,101 010 101 010 101 010 123(10) =

0,0001 1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001(2) =

0,0001 1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001(2) × 20 =

1,1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001(2) × 2-4


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -4

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-4 + 2(11-1) - 1 =

(-4 + 1 023)(10) =

1 019(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 019 : 2 = 509 + 1;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1019(10) =

011 1111 1011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001 =

1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1011

Mantisă (52 biți) =
1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001


Numărul zecimal 0,101 010 101 010 101 010 123 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1011 - 1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001

Distribuie

» Scriere 0,101 010 101 010 101 010 069 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100