0,119 999 999 17 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,119 999 999 17(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,119 999 999 17(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,119 999 999 17.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,119 999 999 17 × 2 = 0 + 0,239 999 998 34;
  • 2) 0,239 999 998 34 × 2 = 0 + 0,479 999 996 68;
  • 3) 0,479 999 996 68 × 2 = 0 + 0,959 999 993 36;
  • 4) 0,959 999 993 36 × 2 = 1 + 0,919 999 986 72;
  • 5) 0,919 999 986 72 × 2 = 1 + 0,839 999 973 44;
  • 6) 0,839 999 973 44 × 2 = 1 + 0,679 999 946 88;
  • 7) 0,679 999 946 88 × 2 = 1 + 0,359 999 893 76;
  • 8) 0,359 999 893 76 × 2 = 0 + 0,719 999 787 52;
  • 9) 0,719 999 787 52 × 2 = 1 + 0,439 999 575 04;
  • 10) 0,439 999 575 04 × 2 = 0 + 0,879 999 150 08;
  • 11) 0,879 999 150 08 × 2 = 1 + 0,759 998 300 16;
  • 12) 0,759 998 300 16 × 2 = 1 + 0,519 996 600 32;
  • 13) 0,519 996 600 32 × 2 = 1 + 0,039 993 200 64;
  • 14) 0,039 993 200 64 × 2 = 0 + 0,079 986 401 28;
  • 15) 0,079 986 401 28 × 2 = 0 + 0,159 972 802 56;
  • 16) 0,159 972 802 56 × 2 = 0 + 0,319 945 605 12;
  • 17) 0,319 945 605 12 × 2 = 0 + 0,639 891 210 24;
  • 18) 0,639 891 210 24 × 2 = 1 + 0,279 782 420 48;
  • 19) 0,279 782 420 48 × 2 = 0 + 0,559 564 840 96;
  • 20) 0,559 564 840 96 × 2 = 1 + 0,119 129 681 92;
  • 21) 0,119 129 681 92 × 2 = 0 + 0,238 259 363 84;
  • 22) 0,238 259 363 84 × 2 = 0 + 0,476 518 727 68;
  • 23) 0,476 518 727 68 × 2 = 0 + 0,953 037 455 36;
  • 24) 0,953 037 455 36 × 2 = 1 + 0,906 074 910 72;
  • 25) 0,906 074 910 72 × 2 = 1 + 0,812 149 821 44;
  • 26) 0,812 149 821 44 × 2 = 1 + 0,624 299 642 88;
  • 27) 0,624 299 642 88 × 2 = 1 + 0,248 599 285 76;
  • 28) 0,248 599 285 76 × 2 = 0 + 0,497 198 571 52;
  • 29) 0,497 198 571 52 × 2 = 0 + 0,994 397 143 04;
  • 30) 0,994 397 143 04 × 2 = 1 + 0,988 794 286 08;
  • 31) 0,988 794 286 08 × 2 = 1 + 0,977 588 572 16;
  • 32) 0,977 588 572 16 × 2 = 1 + 0,955 177 144 32;
  • 33) 0,955 177 144 32 × 2 = 1 + 0,910 354 288 64;
  • 34) 0,910 354 288 64 × 2 = 1 + 0,820 708 577 28;
  • 35) 0,820 708 577 28 × 2 = 1 + 0,641 417 154 56;
  • 36) 0,641 417 154 56 × 2 = 1 + 0,282 834 309 12;
  • 37) 0,282 834 309 12 × 2 = 0 + 0,565 668 618 24;
  • 38) 0,565 668 618 24 × 2 = 1 + 0,131 337 236 48;
  • 39) 0,131 337 236 48 × 2 = 0 + 0,262 674 472 96;
  • 40) 0,262 674 472 96 × 2 = 0 + 0,525 348 945 92;
  • 41) 0,525 348 945 92 × 2 = 1 + 0,050 697 891 84;
  • 42) 0,050 697 891 84 × 2 = 0 + 0,101 395 783 68;
  • 43) 0,101 395 783 68 × 2 = 0 + 0,202 791 567 36;
  • 44) 0,202 791 567 36 × 2 = 0 + 0,405 583 134 72;
  • 45) 0,405 583 134 72 × 2 = 0 + 0,811 166 269 44;
  • 46) 0,811 166 269 44 × 2 = 1 + 0,622 332 538 88;
  • 47) 0,622 332 538 88 × 2 = 1 + 0,244 665 077 76;
  • 48) 0,244 665 077 76 × 2 = 0 + 0,489 330 155 52;
  • 49) 0,489 330 155 52 × 2 = 0 + 0,978 660 311 04;
  • 50) 0,978 660 311 04 × 2 = 1 + 0,957 320 622 08;
  • 51) 0,957 320 622 08 × 2 = 1 + 0,914 641 244 16;
  • 52) 0,914 641 244 16 × 2 = 1 + 0,829 282 488 32;
  • 53) 0,829 282 488 32 × 2 = 1 + 0,658 564 976 64;
  • 54) 0,658 564 976 64 × 2 = 1 + 0,317 129 953 28;
  • 55) 0,317 129 953 28 × 2 = 0 + 0,634 259 906 56;
  • 56) 0,634 259 906 56 × 2 = 1 + 0,268 519 813 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,119 999 999 17(10) =

0,0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 0111 1111 0100 1000 0110 0111 1101(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,119 999 999 17(10) =

0,0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 0111 1111 0100 1000 0110 0111 1101(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,119 999 999 17(10) =

0,0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 0111 1111 0100 1000 0110 0111 1101(2) =

0,0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 0111 1111 0100 1000 0110 0111 1101(2) × 20 =

1,1110 1011 1000 0101 0001 1110 0111 1111 0100 1000 0110 0111 1101(2) × 2-4


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -4

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 1011 1000 0101 0001 1110 0111 1111 0100 1000 0110 0111 1101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-4 + 2(11-1) - 1 =

(-4 + 1 023)(10) =

1 019(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 019 : 2 = 509 + 1;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1019(10) =

011 1111 1011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 1011 1000 0101 0001 1110 0111 1111 0100 1000 0110 0111 1101 =

1110 1011 1000 0101 0001 1110 0111 1111 0100 1000 0110 0111 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1011

Mantisă (52 biți) =
1110 1011 1000 0101 0001 1110 0111 1111 0100 1000 0110 0111 1101


Numărul zecimal 0,119 999 999 17 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1011 - 1110 1011 1000 0101 0001 1110 0111 1111 0100 1000 0110 0111 1101

Distribuie

» Scriere 0,119 999 999 53 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100