0,133 807 264 266 37 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,133 807 264 266 37(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,133 807 264 266 37(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,133 807 264 266 37.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,133 807 264 266 37 × 2 = 0 + 0,267 614 528 532 74;
  • 2) 0,267 614 528 532 74 × 2 = 0 + 0,535 229 057 065 48;
  • 3) 0,535 229 057 065 48 × 2 = 1 + 0,070 458 114 130 96;
  • 4) 0,070 458 114 130 96 × 2 = 0 + 0,140 916 228 261 92;
  • 5) 0,140 916 228 261 92 × 2 = 0 + 0,281 832 456 523 84;
  • 6) 0,281 832 456 523 84 × 2 = 0 + 0,563 664 913 047 68;
  • 7) 0,563 664 913 047 68 × 2 = 1 + 0,127 329 826 095 36;
  • 8) 0,127 329 826 095 36 × 2 = 0 + 0,254 659 652 190 72;
  • 9) 0,254 659 652 190 72 × 2 = 0 + 0,509 319 304 381 44;
  • 10) 0,509 319 304 381 44 × 2 = 1 + 0,018 638 608 762 88;
  • 11) 0,018 638 608 762 88 × 2 = 0 + 0,037 277 217 525 76;
  • 12) 0,037 277 217 525 76 × 2 = 0 + 0,074 554 435 051 52;
  • 13) 0,074 554 435 051 52 × 2 = 0 + 0,149 108 870 103 04;
  • 14) 0,149 108 870 103 04 × 2 = 0 + 0,298 217 740 206 08;
  • 15) 0,298 217 740 206 08 × 2 = 0 + 0,596 435 480 412 16;
  • 16) 0,596 435 480 412 16 × 2 = 1 + 0,192 870 960 824 32;
  • 17) 0,192 870 960 824 32 × 2 = 0 + 0,385 741 921 648 64;
  • 18) 0,385 741 921 648 64 × 2 = 0 + 0,771 483 843 297 28;
  • 19) 0,771 483 843 297 28 × 2 = 1 + 0,542 967 686 594 56;
  • 20) 0,542 967 686 594 56 × 2 = 1 + 0,085 935 373 189 12;
  • 21) 0,085 935 373 189 12 × 2 = 0 + 0,171 870 746 378 24;
  • 22) 0,171 870 746 378 24 × 2 = 0 + 0,343 741 492 756 48;
  • 23) 0,343 741 492 756 48 × 2 = 0 + 0,687 482 985 512 96;
  • 24) 0,687 482 985 512 96 × 2 = 1 + 0,374 965 971 025 92;
  • 25) 0,374 965 971 025 92 × 2 = 0 + 0,749 931 942 051 84;
  • 26) 0,749 931 942 051 84 × 2 = 1 + 0,499 863 884 103 68;
  • 27) 0,499 863 884 103 68 × 2 = 0 + 0,999 727 768 207 36;
  • 28) 0,999 727 768 207 36 × 2 = 1 + 0,999 455 536 414 72;
  • 29) 0,999 455 536 414 72 × 2 = 1 + 0,998 911 072 829 44;
  • 30) 0,998 911 072 829 44 × 2 = 1 + 0,997 822 145 658 88;
  • 31) 0,997 822 145 658 88 × 2 = 1 + 0,995 644 291 317 76;
  • 32) 0,995 644 291 317 76 × 2 = 1 + 0,991 288 582 635 52;
  • 33) 0,991 288 582 635 52 × 2 = 1 + 0,982 577 165 271 04;
  • 34) 0,982 577 165 271 04 × 2 = 1 + 0,965 154 330 542 08;
  • 35) 0,965 154 330 542 08 × 2 = 1 + 0,930 308 661 084 16;
  • 36) 0,930 308 661 084 16 × 2 = 1 + 0,860 617 322 168 32;
  • 37) 0,860 617 322 168 32 × 2 = 1 + 0,721 234 644 336 64;
  • 38) 0,721 234 644 336 64 × 2 = 1 + 0,442 469 288 673 28;
  • 39) 0,442 469 288 673 28 × 2 = 0 + 0,884 938 577 346 56;
  • 40) 0,884 938 577 346 56 × 2 = 1 + 0,769 877 154 693 12;
  • 41) 0,769 877 154 693 12 × 2 = 1 + 0,539 754 309 386 24;
  • 42) 0,539 754 309 386 24 × 2 = 1 + 0,079 508 618 772 48;
  • 43) 0,079 508 618 772 48 × 2 = 0 + 0,159 017 237 544 96;
  • 44) 0,159 017 237 544 96 × 2 = 0 + 0,318 034 475 089 92;
  • 45) 0,318 034 475 089 92 × 2 = 0 + 0,636 068 950 179 84;
  • 46) 0,636 068 950 179 84 × 2 = 1 + 0,272 137 900 359 68;
  • 47) 0,272 137 900 359 68 × 2 = 0 + 0,544 275 800 719 36;
  • 48) 0,544 275 800 719 36 × 2 = 1 + 0,088 551 601 438 72;
  • 49) 0,088 551 601 438 72 × 2 = 0 + 0,177 103 202 877 44;
  • 50) 0,177 103 202 877 44 × 2 = 0 + 0,354 206 405 754 88;
  • 51) 0,354 206 405 754 88 × 2 = 0 + 0,708 412 811 509 76;
  • 52) 0,708 412 811 509 76 × 2 = 1 + 0,416 825 623 019 52;
  • 53) 0,416 825 623 019 52 × 2 = 0 + 0,833 651 246 039 04;
  • 54) 0,833 651 246 039 04 × 2 = 1 + 0,667 302 492 078 08;
  • 55) 0,667 302 492 078 08 × 2 = 1 + 0,334 604 984 156 16;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,133 807 264 266 37(10) =

0,0010 0010 0100 0001 0011 0001 0101 1111 1111 1101 1100 0101 0001 011(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,133 807 264 266 37(10) =

0,0010 0010 0100 0001 0011 0001 0101 1111 1111 1101 1100 0101 0001 011(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,133 807 264 266 37(10) =

0,0010 0010 0100 0001 0011 0001 0101 1111 1111 1101 1100 0101 0001 011(2) =

0,0010 0010 0100 0001 0011 0001 0101 1111 1111 1101 1100 0101 0001 011(2) × 20 =

1,0001 0010 0000 1001 1000 1010 1111 1111 1110 1110 0010 1000 1011(2) × 2-3


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -3

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0000 1001 1000 1010 1111 1111 1110 1110 0010 1000 1011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-3 + 2(11-1) - 1 =

(-3 + 1 023)(10) =

1 020(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 020 : 2 = 510 + 0;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1020(10) =

011 1111 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0000 1001 1000 1010 1111 1111 1110 1110 0010 1000 1011 =

0001 0010 0000 1001 1000 1010 1111 1111 1110 1110 0010 1000 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1100

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0000 1001 1000 1010 1111 1111 1110 1110 0010 1000 1011


Numărul zecimal 0,133 807 264 266 37 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1100 - 0001 0010 0000 1001 1000 1010 1111 1111 1110 1110 0010 1000 1011

» Scriere 0,133 807 264 266 95 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100