0,133 807 264 267 57 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,133 807 264 267 57(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,133 807 264 267 57(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,133 807 264 267 57.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,133 807 264 267 57 × 2 = 0 + 0,267 614 528 535 14;
  • 2) 0,267 614 528 535 14 × 2 = 0 + 0,535 229 057 070 28;
  • 3) 0,535 229 057 070 28 × 2 = 1 + 0,070 458 114 140 56;
  • 4) 0,070 458 114 140 56 × 2 = 0 + 0,140 916 228 281 12;
  • 5) 0,140 916 228 281 12 × 2 = 0 + 0,281 832 456 562 24;
  • 6) 0,281 832 456 562 24 × 2 = 0 + 0,563 664 913 124 48;
  • 7) 0,563 664 913 124 48 × 2 = 1 + 0,127 329 826 248 96;
  • 8) 0,127 329 826 248 96 × 2 = 0 + 0,254 659 652 497 92;
  • 9) 0,254 659 652 497 92 × 2 = 0 + 0,509 319 304 995 84;
  • 10) 0,509 319 304 995 84 × 2 = 1 + 0,018 638 609 991 68;
  • 11) 0,018 638 609 991 68 × 2 = 0 + 0,037 277 219 983 36;
  • 12) 0,037 277 219 983 36 × 2 = 0 + 0,074 554 439 966 72;
  • 13) 0,074 554 439 966 72 × 2 = 0 + 0,149 108 879 933 44;
  • 14) 0,149 108 879 933 44 × 2 = 0 + 0,298 217 759 866 88;
  • 15) 0,298 217 759 866 88 × 2 = 0 + 0,596 435 519 733 76;
  • 16) 0,596 435 519 733 76 × 2 = 1 + 0,192 871 039 467 52;
  • 17) 0,192 871 039 467 52 × 2 = 0 + 0,385 742 078 935 04;
  • 18) 0,385 742 078 935 04 × 2 = 0 + 0,771 484 157 870 08;
  • 19) 0,771 484 157 870 08 × 2 = 1 + 0,542 968 315 740 16;
  • 20) 0,542 968 315 740 16 × 2 = 1 + 0,085 936 631 480 32;
  • 21) 0,085 936 631 480 32 × 2 = 0 + 0,171 873 262 960 64;
  • 22) 0,171 873 262 960 64 × 2 = 0 + 0,343 746 525 921 28;
  • 23) 0,343 746 525 921 28 × 2 = 0 + 0,687 493 051 842 56;
  • 24) 0,687 493 051 842 56 × 2 = 1 + 0,374 986 103 685 12;
  • 25) 0,374 986 103 685 12 × 2 = 0 + 0,749 972 207 370 24;
  • 26) 0,749 972 207 370 24 × 2 = 1 + 0,499 944 414 740 48;
  • 27) 0,499 944 414 740 48 × 2 = 0 + 0,999 888 829 480 96;
  • 28) 0,999 888 829 480 96 × 2 = 1 + 0,999 777 658 961 92;
  • 29) 0,999 777 658 961 92 × 2 = 1 + 0,999 555 317 923 84;
  • 30) 0,999 555 317 923 84 × 2 = 1 + 0,999 110 635 847 68;
  • 31) 0,999 110 635 847 68 × 2 = 1 + 0,998 221 271 695 36;
  • 32) 0,998 221 271 695 36 × 2 = 1 + 0,996 442 543 390 72;
  • 33) 0,996 442 543 390 72 × 2 = 1 + 0,992 885 086 781 44;
  • 34) 0,992 885 086 781 44 × 2 = 1 + 0,985 770 173 562 88;
  • 35) 0,985 770 173 562 88 × 2 = 1 + 0,971 540 347 125 76;
  • 36) 0,971 540 347 125 76 × 2 = 1 + 0,943 080 694 251 52;
  • 37) 0,943 080 694 251 52 × 2 = 1 + 0,886 161 388 503 04;
  • 38) 0,886 161 388 503 04 × 2 = 1 + 0,772 322 777 006 08;
  • 39) 0,772 322 777 006 08 × 2 = 1 + 0,544 645 554 012 16;
  • 40) 0,544 645 554 012 16 × 2 = 1 + 0,089 291 108 024 32;
  • 41) 0,089 291 108 024 32 × 2 = 0 + 0,178 582 216 048 64;
  • 42) 0,178 582 216 048 64 × 2 = 0 + 0,357 164 432 097 28;
  • 43) 0,357 164 432 097 28 × 2 = 0 + 0,714 328 864 194 56;
  • 44) 0,714 328 864 194 56 × 2 = 1 + 0,428 657 728 389 12;
  • 45) 0,428 657 728 389 12 × 2 = 0 + 0,857 315 456 778 24;
  • 46) 0,857 315 456 778 24 × 2 = 1 + 0,714 630 913 556 48;
  • 47) 0,714 630 913 556 48 × 2 = 1 + 0,429 261 827 112 96;
  • 48) 0,429 261 827 112 96 × 2 = 0 + 0,858 523 654 225 92;
  • 49) 0,858 523 654 225 92 × 2 = 1 + 0,717 047 308 451 84;
  • 50) 0,717 047 308 451 84 × 2 = 1 + 0,434 094 616 903 68;
  • 51) 0,434 094 616 903 68 × 2 = 0 + 0,868 189 233 807 36;
  • 52) 0,868 189 233 807 36 × 2 = 1 + 0,736 378 467 614 72;
  • 53) 0,736 378 467 614 72 × 2 = 1 + 0,472 756 935 229 44;
  • 54) 0,472 756 935 229 44 × 2 = 0 + 0,945 513 870 458 88;
  • 55) 0,945 513 870 458 88 × 2 = 1 + 0,891 027 740 917 76;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,133 807 264 267 57(10) =

0,0010 0010 0100 0001 0011 0001 0101 1111 1111 1111 0001 0110 1101 101(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,133 807 264 267 57(10) =

0,0010 0010 0100 0001 0011 0001 0101 1111 1111 1111 0001 0110 1101 101(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,133 807 264 267 57(10) =

0,0010 0010 0100 0001 0011 0001 0101 1111 1111 1111 0001 0110 1101 101(2) =

0,0010 0010 0100 0001 0011 0001 0101 1111 1111 1111 0001 0110 1101 101(2) × 20 =

1,0001 0010 0000 1001 1000 1010 1111 1111 1111 1000 1011 0110 1101(2) × 2-3


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -3

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0000 1001 1000 1010 1111 1111 1111 1000 1011 0110 1101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-3 + 2(11-1) - 1 =

(-3 + 1 023)(10) =

1 020(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 020 : 2 = 510 + 0;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1020(10) =

011 1111 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0000 1001 1000 1010 1111 1111 1111 1000 1011 0110 1101 =

0001 0010 0000 1001 1000 1010 1111 1111 1111 1000 1011 0110 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1100

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0000 1001 1000 1010 1111 1111 1111 1000 1011 0110 1101


Numărul zecimal 0,133 807 264 267 57 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1100 - 0001 0010 0000 1001 1000 1010 1111 1111 1111 1000 1011 0110 1101

» Scriere 0,133 807 264 267 26 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100