0,142 857 142 857 139 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,142 857 142 857 139 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,142 857 142 857 139 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,142 857 142 857 139 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,142 857 142 857 139 3 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 278 6;
  • 2) 0,285 714 285 714 278 6 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 557 2;
  • 3) 0,571 428 571 428 557 2 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 114 4;
  • 4) 0,142 857 142 857 114 4 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 228 8;
  • 5) 0,285 714 285 714 228 8 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 457 6;
  • 6) 0,571 428 571 428 457 6 × 2 = 1 + 0,142 857 142 856 915 2;
  • 7) 0,142 857 142 856 915 2 × 2 = 0 + 0,285 714 285 713 830 4;
  • 8) 0,285 714 285 713 830 4 × 2 = 0 + 0,571 428 571 427 660 8;
  • 9) 0,571 428 571 427 660 8 × 2 = 1 + 0,142 857 142 855 321 6;
  • 10) 0,142 857 142 855 321 6 × 2 = 0 + 0,285 714 285 710 643 2;
  • 11) 0,285 714 285 710 643 2 × 2 = 0 + 0,571 428 571 421 286 4;
  • 12) 0,571 428 571 421 286 4 × 2 = 1 + 0,142 857 142 842 572 8;
  • 13) 0,142 857 142 842 572 8 × 2 = 0 + 0,285 714 285 685 145 6;
  • 14) 0,285 714 285 685 145 6 × 2 = 0 + 0,571 428 571 370 291 2;
  • 15) 0,571 428 571 370 291 2 × 2 = 1 + 0,142 857 142 740 582 4;
  • 16) 0,142 857 142 740 582 4 × 2 = 0 + 0,285 714 285 481 164 8;
  • 17) 0,285 714 285 481 164 8 × 2 = 0 + 0,571 428 570 962 329 6;
  • 18) 0,571 428 570 962 329 6 × 2 = 1 + 0,142 857 141 924 659 2;
  • 19) 0,142 857 141 924 659 2 × 2 = 0 + 0,285 714 283 849 318 4;
  • 20) 0,285 714 283 849 318 4 × 2 = 0 + 0,571 428 567 698 636 8;
  • 21) 0,571 428 567 698 636 8 × 2 = 1 + 0,142 857 135 397 273 6;
  • 22) 0,142 857 135 397 273 6 × 2 = 0 + 0,285 714 270 794 547 2;
  • 23) 0,285 714 270 794 547 2 × 2 = 0 + 0,571 428 541 589 094 4;
  • 24) 0,571 428 541 589 094 4 × 2 = 1 + 0,142 857 083 178 188 8;
  • 25) 0,142 857 083 178 188 8 × 2 = 0 + 0,285 714 166 356 377 6;
  • 26) 0,285 714 166 356 377 6 × 2 = 0 + 0,571 428 332 712 755 2;
  • 27) 0,571 428 332 712 755 2 × 2 = 1 + 0,142 856 665 425 510 4;
  • 28) 0,142 856 665 425 510 4 × 2 = 0 + 0,285 713 330 851 020 8;
  • 29) 0,285 713 330 851 020 8 × 2 = 0 + 0,571 426 661 702 041 6;
  • 30) 0,571 426 661 702 041 6 × 2 = 1 + 0,142 853 323 404 083 2;
  • 31) 0,142 853 323 404 083 2 × 2 = 0 + 0,285 706 646 808 166 4;
  • 32) 0,285 706 646 808 166 4 × 2 = 0 + 0,571 413 293 616 332 8;
  • 33) 0,571 413 293 616 332 8 × 2 = 1 + 0,142 826 587 232 665 6;
  • 34) 0,142 826 587 232 665 6 × 2 = 0 + 0,285 653 174 465 331 2;
  • 35) 0,285 653 174 465 331 2 × 2 = 0 + 0,571 306 348 930 662 4;
  • 36) 0,571 306 348 930 662 4 × 2 = 1 + 0,142 612 697 861 324 8;
  • 37) 0,142 612 697 861 324 8 × 2 = 0 + 0,285 225 395 722 649 6;
  • 38) 0,285 225 395 722 649 6 × 2 = 0 + 0,570 450 791 445 299 2;
  • 39) 0,570 450 791 445 299 2 × 2 = 1 + 0,140 901 582 890 598 4;
  • 40) 0,140 901 582 890 598 4 × 2 = 0 + 0,281 803 165 781 196 8;
  • 41) 0,281 803 165 781 196 8 × 2 = 0 + 0,563 606 331 562 393 6;
  • 42) 0,563 606 331 562 393 6 × 2 = 1 + 0,127 212 663 124 787 2;
  • 43) 0,127 212 663 124 787 2 × 2 = 0 + 0,254 425 326 249 574 4;
  • 44) 0,254 425 326 249 574 4 × 2 = 0 + 0,508 850 652 499 148 8;
  • 45) 0,508 850 652 499 148 8 × 2 = 1 + 0,017 701 304 998 297 6;
  • 46) 0,017 701 304 998 297 6 × 2 = 0 + 0,035 402 609 996 595 2;
  • 47) 0,035 402 609 996 595 2 × 2 = 0 + 0,070 805 219 993 190 4;
  • 48) 0,070 805 219 993 190 4 × 2 = 0 + 0,141 610 439 986 380 8;
  • 49) 0,141 610 439 986 380 8 × 2 = 0 + 0,283 220 879 972 761 6;
  • 50) 0,283 220 879 972 761 6 × 2 = 0 + 0,566 441 759 945 523 2;
  • 51) 0,566 441 759 945 523 2 × 2 = 1 + 0,132 883 519 891 046 4;
  • 52) 0,132 883 519 891 046 4 × 2 = 0 + 0,265 767 039 782 092 8;
  • 53) 0,265 767 039 782 092 8 × 2 = 0 + 0,531 534 079 564 185 6;
  • 54) 0,531 534 079 564 185 6 × 2 = 1 + 0,063 068 159 128 371 2;
  • 55) 0,063 068 159 128 371 2 × 2 = 0 + 0,126 136 318 256 742 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,142 857 142 857 139 3(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1000 0010 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,142 857 142 857 139 3(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1000 0010 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,142 857 142 857 139 3(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1000 0010 010(2) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1000 0010 010(2) × 20 =

1,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0001 0010(2) × 2-3


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -3

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0001 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-3 + 2(11-1) - 1 =

(-3 + 1 023)(10) =

1 020(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 020 : 2 = 510 + 0;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1020(10) =

011 1111 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0001 0010 =

0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0001 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1100

Mantisă (52 biți) =
0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0001 0010


Numărul zecimal 0,142 857 142 857 139 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1100 - 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0001 0010

Distribuie

» Scriere 0,142 857 142 857 140 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100