0,142 857 142 857 142 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,142 857 142 857 142 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,142 857 142 857 142 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,142 857 142 857 142 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,142 857 142 857 142 8 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 6;
  • 2) 0,285 714 285 714 285 6 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 2;
  • 3) 0,571 428 571 428 571 2 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 4;
  • 4) 0,142 857 142 857 142 4 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 284 8;
  • 5) 0,285 714 285 714 284 8 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 569 6;
  • 6) 0,571 428 571 428 569 6 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 139 2;
  • 7) 0,142 857 142 857 139 2 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 278 4;
  • 8) 0,285 714 285 714 278 4 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 556 8;
  • 9) 0,571 428 571 428 556 8 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 113 6;
  • 10) 0,142 857 142 857 113 6 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 227 2;
  • 11) 0,285 714 285 714 227 2 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 454 4;
  • 12) 0,571 428 571 428 454 4 × 2 = 1 + 0,142 857 142 856 908 8;
  • 13) 0,142 857 142 856 908 8 × 2 = 0 + 0,285 714 285 713 817 6;
  • 14) 0,285 714 285 713 817 6 × 2 = 0 + 0,571 428 571 427 635 2;
  • 15) 0,571 428 571 427 635 2 × 2 = 1 + 0,142 857 142 855 270 4;
  • 16) 0,142 857 142 855 270 4 × 2 = 0 + 0,285 714 285 710 540 8;
  • 17) 0,285 714 285 710 540 8 × 2 = 0 + 0,571 428 571 421 081 6;
  • 18) 0,571 428 571 421 081 6 × 2 = 1 + 0,142 857 142 842 163 2;
  • 19) 0,142 857 142 842 163 2 × 2 = 0 + 0,285 714 285 684 326 4;
  • 20) 0,285 714 285 684 326 4 × 2 = 0 + 0,571 428 571 368 652 8;
  • 21) 0,571 428 571 368 652 8 × 2 = 1 + 0,142 857 142 737 305 6;
  • 22) 0,142 857 142 737 305 6 × 2 = 0 + 0,285 714 285 474 611 2;
  • 23) 0,285 714 285 474 611 2 × 2 = 0 + 0,571 428 570 949 222 4;
  • 24) 0,571 428 570 949 222 4 × 2 = 1 + 0,142 857 141 898 444 8;
  • 25) 0,142 857 141 898 444 8 × 2 = 0 + 0,285 714 283 796 889 6;
  • 26) 0,285 714 283 796 889 6 × 2 = 0 + 0,571 428 567 593 779 2;
  • 27) 0,571 428 567 593 779 2 × 2 = 1 + 0,142 857 135 187 558 4;
  • 28) 0,142 857 135 187 558 4 × 2 = 0 + 0,285 714 270 375 116 8;
  • 29) 0,285 714 270 375 116 8 × 2 = 0 + 0,571 428 540 750 233 6;
  • 30) 0,571 428 540 750 233 6 × 2 = 1 + 0,142 857 081 500 467 2;
  • 31) 0,142 857 081 500 467 2 × 2 = 0 + 0,285 714 163 000 934 4;
  • 32) 0,285 714 163 000 934 4 × 2 = 0 + 0,571 428 326 001 868 8;
  • 33) 0,571 428 326 001 868 8 × 2 = 1 + 0,142 856 652 003 737 6;
  • 34) 0,142 856 652 003 737 6 × 2 = 0 + 0,285 713 304 007 475 2;
  • 35) 0,285 713 304 007 475 2 × 2 = 0 + 0,571 426 608 014 950 4;
  • 36) 0,571 426 608 014 950 4 × 2 = 1 + 0,142 853 216 029 900 8;
  • 37) 0,142 853 216 029 900 8 × 2 = 0 + 0,285 706 432 059 801 6;
  • 38) 0,285 706 432 059 801 6 × 2 = 0 + 0,571 412 864 119 603 2;
  • 39) 0,571 412 864 119 603 2 × 2 = 1 + 0,142 825 728 239 206 4;
  • 40) 0,142 825 728 239 206 4 × 2 = 0 + 0,285 651 456 478 412 8;
  • 41) 0,285 651 456 478 412 8 × 2 = 0 + 0,571 302 912 956 825 6;
  • 42) 0,571 302 912 956 825 6 × 2 = 1 + 0,142 605 825 913 651 2;
  • 43) 0,142 605 825 913 651 2 × 2 = 0 + 0,285 211 651 827 302 4;
  • 44) 0,285 211 651 827 302 4 × 2 = 0 + 0,570 423 303 654 604 8;
  • 45) 0,570 423 303 654 604 8 × 2 = 1 + 0,140 846 607 309 209 6;
  • 46) 0,140 846 607 309 209 6 × 2 = 0 + 0,281 693 214 618 419 2;
  • 47) 0,281 693 214 618 419 2 × 2 = 0 + 0,563 386 429 236 838 4;
  • 48) 0,563 386 429 236 838 4 × 2 = 1 + 0,126 772 858 473 676 8;
  • 49) 0,126 772 858 473 676 8 × 2 = 0 + 0,253 545 716 947 353 6;
  • 50) 0,253 545 716 947 353 6 × 2 = 0 + 0,507 091 433 894 707 2;
  • 51) 0,507 091 433 894 707 2 × 2 = 1 + 0,014 182 867 789 414 4;
  • 52) 0,014 182 867 789 414 4 × 2 = 0 + 0,028 365 735 578 828 8;
  • 53) 0,028 365 735 578 828 8 × 2 = 0 + 0,056 731 471 157 657 6;
  • 54) 0,056 731 471 157 657 6 × 2 = 0 + 0,113 462 942 315 315 2;
  • 55) 0,113 462 942 315 315 2 × 2 = 0 + 0,226 925 884 630 630 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,142 857 142 857 142 8(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,142 857 142 857 142 8(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,142 857 142 857 142 8(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 000(2) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 000(2) × 20 =

1,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0000(2) × 2-3


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -3

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-3 + 2(11-1) - 1 =

(-3 + 1 023)(10) =

1 020(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 020 : 2 = 510 + 0;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1020(10) =

011 1111 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0000 =

0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1100

Mantisă (52 biți) =
0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0000


Numărul zecimal 0,142 857 142 857 142 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1100 - 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0000

Distribuie

» Scriere 0,142 857 142 857 146 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100