0,142 857 142 857 142 861 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,142 857 142 857 142 861 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,142 857 142 857 142 861 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,142 857 142 857 142 861 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,142 857 142 857 142 861 5 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 723;
  • 2) 0,285 714 285 714 285 723 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 446;
  • 3) 0,571 428 571 428 571 446 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 892;
  • 4) 0,142 857 142 857 142 892 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 784;
  • 5) 0,285 714 285 714 285 784 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 568;
  • 6) 0,571 428 571 428 571 568 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 143 136;
  • 7) 0,142 857 142 857 143 136 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 286 272;
  • 8) 0,285 714 285 714 286 272 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 572 544;
  • 9) 0,571 428 571 428 572 544 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 145 088;
  • 10) 0,142 857 142 857 145 088 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 290 176;
  • 11) 0,285 714 285 714 290 176 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 580 352;
  • 12) 0,571 428 571 428 580 352 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 160 704;
  • 13) 0,142 857 142 857 160 704 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 321 408;
  • 14) 0,285 714 285 714 321 408 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 642 816;
  • 15) 0,571 428 571 428 642 816 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 285 632;
  • 16) 0,142 857 142 857 285 632 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 571 264;
  • 17) 0,285 714 285 714 571 264 × 2 = 0 + 0,571 428 571 429 142 528;
  • 18) 0,571 428 571 429 142 528 × 2 = 1 + 0,142 857 142 858 285 056;
  • 19) 0,142 857 142 858 285 056 × 2 = 0 + 0,285 714 285 716 570 112;
  • 20) 0,285 714 285 716 570 112 × 2 = 0 + 0,571 428 571 433 140 224;
  • 21) 0,571 428 571 433 140 224 × 2 = 1 + 0,142 857 142 866 280 448;
  • 22) 0,142 857 142 866 280 448 × 2 = 0 + 0,285 714 285 732 560 896;
  • 23) 0,285 714 285 732 560 896 × 2 = 0 + 0,571 428 571 465 121 792;
  • 24) 0,571 428 571 465 121 792 × 2 = 1 + 0,142 857 142 930 243 584;
  • 25) 0,142 857 142 930 243 584 × 2 = 0 + 0,285 714 285 860 487 168;
  • 26) 0,285 714 285 860 487 168 × 2 = 0 + 0,571 428 571 720 974 336;
  • 27) 0,571 428 571 720 974 336 × 2 = 1 + 0,142 857 143 441 948 672;
  • 28) 0,142 857 143 441 948 672 × 2 = 0 + 0,285 714 286 883 897 344;
  • 29) 0,285 714 286 883 897 344 × 2 = 0 + 0,571 428 573 767 794 688;
  • 30) 0,571 428 573 767 794 688 × 2 = 1 + 0,142 857 147 535 589 376;
  • 31) 0,142 857 147 535 589 376 × 2 = 0 + 0,285 714 295 071 178 752;
  • 32) 0,285 714 295 071 178 752 × 2 = 0 + 0,571 428 590 142 357 504;
  • 33) 0,571 428 590 142 357 504 × 2 = 1 + 0,142 857 180 284 715 008;
  • 34) 0,142 857 180 284 715 008 × 2 = 0 + 0,285 714 360 569 430 016;
  • 35) 0,285 714 360 569 430 016 × 2 = 0 + 0,571 428 721 138 860 032;
  • 36) 0,571 428 721 138 860 032 × 2 = 1 + 0,142 857 442 277 720 064;
  • 37) 0,142 857 442 277 720 064 × 2 = 0 + 0,285 714 884 555 440 128;
  • 38) 0,285 714 884 555 440 128 × 2 = 0 + 0,571 429 769 110 880 256;
  • 39) 0,571 429 769 110 880 256 × 2 = 1 + 0,142 859 538 221 760 512;
  • 40) 0,142 859 538 221 760 512 × 2 = 0 + 0,285 719 076 443 521 024;
  • 41) 0,285 719 076 443 521 024 × 2 = 0 + 0,571 438 152 887 042 048;
  • 42) 0,571 438 152 887 042 048 × 2 = 1 + 0,142 876 305 774 084 096;
  • 43) 0,142 876 305 774 084 096 × 2 = 0 + 0,285 752 611 548 168 192;
  • 44) 0,285 752 611 548 168 192 × 2 = 0 + 0,571 505 223 096 336 384;
  • 45) 0,571 505 223 096 336 384 × 2 = 1 + 0,143 010 446 192 672 768;
  • 46) 0,143 010 446 192 672 768 × 2 = 0 + 0,286 020 892 385 345 536;
  • 47) 0,286 020 892 385 345 536 × 2 = 0 + 0,572 041 784 770 691 072;
  • 48) 0,572 041 784 770 691 072 × 2 = 1 + 0,144 083 569 541 382 144;
  • 49) 0,144 083 569 541 382 144 × 2 = 0 + 0,288 167 139 082 764 288;
  • 50) 0,288 167 139 082 764 288 × 2 = 0 + 0,576 334 278 165 528 576;
  • 51) 0,576 334 278 165 528 576 × 2 = 1 + 0,152 668 556 331 057 152;
  • 52) 0,152 668 556 331 057 152 × 2 = 0 + 0,305 337 112 662 114 304;
  • 53) 0,305 337 112 662 114 304 × 2 = 0 + 0,610 674 225 324 228 608;
  • 54) 0,610 674 225 324 228 608 × 2 = 1 + 0,221 348 450 648 457 216;
  • 55) 0,221 348 450 648 457 216 × 2 = 0 + 0,442 696 901 296 914 432;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,142 857 142 857 142 861 5(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,142 857 142 857 142 861 5(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,142 857 142 857 142 861 5(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 010(2) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 010(2) × 20 =

1,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010(2) × 2-3


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -3

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-3 + 2(11-1) - 1 =

(-3 + 1 023)(10) =

1 020(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 020 : 2 = 510 + 0;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1020(10) =

011 1111 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 =

0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1100

Mantisă (52 biți) =
0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010


Numărul zecimal 0,142 857 142 857 142 861 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1100 - 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010

Distribuie

» Scriere 0,142 857 142 857 142 854 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100