0,142 857 142 857 148 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,142 857 142 857 148 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,142 857 142 857 148 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,142 857 142 857 148 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,142 857 142 857 148 9 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 297 8;
  • 2) 0,285 714 285 714 297 8 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 595 6;
  • 3) 0,571 428 571 428 595 6 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 191 2;
  • 4) 0,142 857 142 857 191 2 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 382 4;
  • 5) 0,285 714 285 714 382 4 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 764 8;
  • 6) 0,571 428 571 428 764 8 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 529 6;
  • 7) 0,142 857 142 857 529 6 × 2 = 0 + 0,285 714 285 715 059 2;
  • 8) 0,285 714 285 715 059 2 × 2 = 0 + 0,571 428 571 430 118 4;
  • 9) 0,571 428 571 430 118 4 × 2 = 1 + 0,142 857 142 860 236 8;
  • 10) 0,142 857 142 860 236 8 × 2 = 0 + 0,285 714 285 720 473 6;
  • 11) 0,285 714 285 720 473 6 × 2 = 0 + 0,571 428 571 440 947 2;
  • 12) 0,571 428 571 440 947 2 × 2 = 1 + 0,142 857 142 881 894 4;
  • 13) 0,142 857 142 881 894 4 × 2 = 0 + 0,285 714 285 763 788 8;
  • 14) 0,285 714 285 763 788 8 × 2 = 0 + 0,571 428 571 527 577 6;
  • 15) 0,571 428 571 527 577 6 × 2 = 1 + 0,142 857 143 055 155 2;
  • 16) 0,142 857 143 055 155 2 × 2 = 0 + 0,285 714 286 110 310 4;
  • 17) 0,285 714 286 110 310 4 × 2 = 0 + 0,571 428 572 220 620 8;
  • 18) 0,571 428 572 220 620 8 × 2 = 1 + 0,142 857 144 441 241 6;
  • 19) 0,142 857 144 441 241 6 × 2 = 0 + 0,285 714 288 882 483 2;
  • 20) 0,285 714 288 882 483 2 × 2 = 0 + 0,571 428 577 764 966 4;
  • 21) 0,571 428 577 764 966 4 × 2 = 1 + 0,142 857 155 529 932 8;
  • 22) 0,142 857 155 529 932 8 × 2 = 0 + 0,285 714 311 059 865 6;
  • 23) 0,285 714 311 059 865 6 × 2 = 0 + 0,571 428 622 119 731 2;
  • 24) 0,571 428 622 119 731 2 × 2 = 1 + 0,142 857 244 239 462 4;
  • 25) 0,142 857 244 239 462 4 × 2 = 0 + 0,285 714 488 478 924 8;
  • 26) 0,285 714 488 478 924 8 × 2 = 0 + 0,571 428 976 957 849 6;
  • 27) 0,571 428 976 957 849 6 × 2 = 1 + 0,142 857 953 915 699 2;
  • 28) 0,142 857 953 915 699 2 × 2 = 0 + 0,285 715 907 831 398 4;
  • 29) 0,285 715 907 831 398 4 × 2 = 0 + 0,571 431 815 662 796 8;
  • 30) 0,571 431 815 662 796 8 × 2 = 1 + 0,142 863 631 325 593 6;
  • 31) 0,142 863 631 325 593 6 × 2 = 0 + 0,285 727 262 651 187 2;
  • 32) 0,285 727 262 651 187 2 × 2 = 0 + 0,571 454 525 302 374 4;
  • 33) 0,571 454 525 302 374 4 × 2 = 1 + 0,142 909 050 604 748 8;
  • 34) 0,142 909 050 604 748 8 × 2 = 0 + 0,285 818 101 209 497 6;
  • 35) 0,285 818 101 209 497 6 × 2 = 0 + 0,571 636 202 418 995 2;
  • 36) 0,571 636 202 418 995 2 × 2 = 1 + 0,143 272 404 837 990 4;
  • 37) 0,143 272 404 837 990 4 × 2 = 0 + 0,286 544 809 675 980 8;
  • 38) 0,286 544 809 675 980 8 × 2 = 0 + 0,573 089 619 351 961 6;
  • 39) 0,573 089 619 351 961 6 × 2 = 1 + 0,146 179 238 703 923 2;
  • 40) 0,146 179 238 703 923 2 × 2 = 0 + 0,292 358 477 407 846 4;
  • 41) 0,292 358 477 407 846 4 × 2 = 0 + 0,584 716 954 815 692 8;
  • 42) 0,584 716 954 815 692 8 × 2 = 1 + 0,169 433 909 631 385 6;
  • 43) 0,169 433 909 631 385 6 × 2 = 0 + 0,338 867 819 262 771 2;
  • 44) 0,338 867 819 262 771 2 × 2 = 0 + 0,677 735 638 525 542 4;
  • 45) 0,677 735 638 525 542 4 × 2 = 1 + 0,355 471 277 051 084 8;
  • 46) 0,355 471 277 051 084 8 × 2 = 0 + 0,710 942 554 102 169 6;
  • 47) 0,710 942 554 102 169 6 × 2 = 1 + 0,421 885 108 204 339 2;
  • 48) 0,421 885 108 204 339 2 × 2 = 0 + 0,843 770 216 408 678 4;
  • 49) 0,843 770 216 408 678 4 × 2 = 1 + 0,687 540 432 817 356 8;
  • 50) 0,687 540 432 817 356 8 × 2 = 1 + 0,375 080 865 634 713 6;
  • 51) 0,375 080 865 634 713 6 × 2 = 0 + 0,750 161 731 269 427 2;
  • 52) 0,750 161 731 269 427 2 × 2 = 1 + 0,500 323 462 538 854 4;
  • 53) 0,500 323 462 538 854 4 × 2 = 1 + 0,000 646 925 077 708 8;
  • 54) 0,000 646 925 077 708 8 × 2 = 0 + 0,001 293 850 155 417 6;
  • 55) 0,001 293 850 155 417 6 × 2 = 0 + 0,002 587 700 310 835 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,142 857 142 857 148 9(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1010 1101 100(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,142 857 142 857 148 9(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1010 1101 100(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,142 857 142 857 148 9(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1010 1101 100(2) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1010 1101 100(2) × 20 =

1,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0101 0110 1100(2) × 2-3


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -3

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0101 0110 1100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-3 + 2(11-1) - 1 =

(-3 + 1 023)(10) =

1 020(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 020 : 2 = 510 + 0;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1020(10) =

011 1111 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0101 0110 1100 =

0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0101 0110 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1100

Mantisă (52 biți) =
0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0101 0110 1100


Numărul zecimal 0,142 857 142 857 148 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1100 - 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0101 0110 1100

Distribuie

» Scriere 0,142 857 142 857 143 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100