0,190 381 954 206 714 002 12 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,190 381 954 206 714 002 12(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,190 381 954 206 714 002 12(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,190 381 954 206 714 002 12.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,190 381 954 206 714 002 12 × 2 = 0 + 0,380 763 908 413 428 004 24;
  • 2) 0,380 763 908 413 428 004 24 × 2 = 0 + 0,761 527 816 826 856 008 48;
  • 3) 0,761 527 816 826 856 008 48 × 2 = 1 + 0,523 055 633 653 712 016 96;
  • 4) 0,523 055 633 653 712 016 96 × 2 = 1 + 0,046 111 267 307 424 033 92;
  • 5) 0,046 111 267 307 424 033 92 × 2 = 0 + 0,092 222 534 614 848 067 84;
  • 6) 0,092 222 534 614 848 067 84 × 2 = 0 + 0,184 445 069 229 696 135 68;
  • 7) 0,184 445 069 229 696 135 68 × 2 = 0 + 0,368 890 138 459 392 271 36;
  • 8) 0,368 890 138 459 392 271 36 × 2 = 0 + 0,737 780 276 918 784 542 72;
  • 9) 0,737 780 276 918 784 542 72 × 2 = 1 + 0,475 560 553 837 569 085 44;
  • 10) 0,475 560 553 837 569 085 44 × 2 = 0 + 0,951 121 107 675 138 170 88;
  • 11) 0,951 121 107 675 138 170 88 × 2 = 1 + 0,902 242 215 350 276 341 76;
  • 12) 0,902 242 215 350 276 341 76 × 2 = 1 + 0,804 484 430 700 552 683 52;
  • 13) 0,804 484 430 700 552 683 52 × 2 = 1 + 0,608 968 861 401 105 367 04;
  • 14) 0,608 968 861 401 105 367 04 × 2 = 1 + 0,217 937 722 802 210 734 08;
  • 15) 0,217 937 722 802 210 734 08 × 2 = 0 + 0,435 875 445 604 421 468 16;
  • 16) 0,435 875 445 604 421 468 16 × 2 = 0 + 0,871 750 891 208 842 936 32;
  • 17) 0,871 750 891 208 842 936 32 × 2 = 1 + 0,743 501 782 417 685 872 64;
  • 18) 0,743 501 782 417 685 872 64 × 2 = 1 + 0,487 003 564 835 371 745 28;
  • 19) 0,487 003 564 835 371 745 28 × 2 = 0 + 0,974 007 129 670 743 490 56;
  • 20) 0,974 007 129 670 743 490 56 × 2 = 1 + 0,948 014 259 341 486 981 12;
  • 21) 0,948 014 259 341 486 981 12 × 2 = 1 + 0,896 028 518 682 973 962 24;
  • 22) 0,896 028 518 682 973 962 24 × 2 = 1 + 0,792 057 037 365 947 924 48;
  • 23) 0,792 057 037 365 947 924 48 × 2 = 1 + 0,584 114 074 731 895 848 96;
  • 24) 0,584 114 074 731 895 848 96 × 2 = 1 + 0,168 228 149 463 791 697 92;
  • 25) 0,168 228 149 463 791 697 92 × 2 = 0 + 0,336 456 298 927 583 395 84;
  • 26) 0,336 456 298 927 583 395 84 × 2 = 0 + 0,672 912 597 855 166 791 68;
  • 27) 0,672 912 597 855 166 791 68 × 2 = 1 + 0,345 825 195 710 333 583 36;
  • 28) 0,345 825 195 710 333 583 36 × 2 = 0 + 0,691 650 391 420 667 166 72;
  • 29) 0,691 650 391 420 667 166 72 × 2 = 1 + 0,383 300 782 841 334 333 44;
  • 30) 0,383 300 782 841 334 333 44 × 2 = 0 + 0,766 601 565 682 668 666 88;
  • 31) 0,766 601 565 682 668 666 88 × 2 = 1 + 0,533 203 131 365 337 333 76;
  • 32) 0,533 203 131 365 337 333 76 × 2 = 1 + 0,066 406 262 730 674 667 52;
  • 33) 0,066 406 262 730 674 667 52 × 2 = 0 + 0,132 812 525 461 349 335 04;
  • 34) 0,132 812 525 461 349 335 04 × 2 = 0 + 0,265 625 050 922 698 670 08;
  • 35) 0,265 625 050 922 698 670 08 × 2 = 0 + 0,531 250 101 845 397 340 16;
  • 36) 0,531 250 101 845 397 340 16 × 2 = 1 + 0,062 500 203 690 794 680 32;
  • 37) 0,062 500 203 690 794 680 32 × 2 = 0 + 0,125 000 407 381 589 360 64;
  • 38) 0,125 000 407 381 589 360 64 × 2 = 0 + 0,250 000 814 763 178 721 28;
  • 39) 0,250 000 814 763 178 721 28 × 2 = 0 + 0,500 001 629 526 357 442 56;
  • 40) 0,500 001 629 526 357 442 56 × 2 = 1 + 0,000 003 259 052 714 885 12;
  • 41) 0,000 003 259 052 714 885 12 × 2 = 0 + 0,000 006 518 105 429 770 24;
  • 42) 0,000 006 518 105 429 770 24 × 2 = 0 + 0,000 013 036 210 859 540 48;
  • 43) 0,000 013 036 210 859 540 48 × 2 = 0 + 0,000 026 072 421 719 080 96;
  • 44) 0,000 026 072 421 719 080 96 × 2 = 0 + 0,000 052 144 843 438 161 92;
  • 45) 0,000 052 144 843 438 161 92 × 2 = 0 + 0,000 104 289 686 876 323 84;
  • 46) 0,000 104 289 686 876 323 84 × 2 = 0 + 0,000 208 579 373 752 647 68;
  • 47) 0,000 208 579 373 752 647 68 × 2 = 0 + 0,000 417 158 747 505 295 36;
  • 48) 0,000 417 158 747 505 295 36 × 2 = 0 + 0,000 834 317 495 010 590 72;
  • 49) 0,000 834 317 495 010 590 72 × 2 = 0 + 0,001 668 634 990 021 181 44;
  • 50) 0,001 668 634 990 021 181 44 × 2 = 0 + 0,003 337 269 980 042 362 88;
  • 51) 0,003 337 269 980 042 362 88 × 2 = 0 + 0,006 674 539 960 084 725 76;
  • 52) 0,006 674 539 960 084 725 76 × 2 = 0 + 0,013 349 079 920 169 451 52;
  • 53) 0,013 349 079 920 169 451 52 × 2 = 0 + 0,026 698 159 840 338 903 04;
  • 54) 0,026 698 159 840 338 903 04 × 2 = 0 + 0,053 396 319 680 677 806 08;
  • 55) 0,053 396 319 680 677 806 08 × 2 = 0 + 0,106 792 639 361 355 612 16;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,190 381 954 206 714 002 12(10) =

0,0011 0000 1011 1100 1101 1111 0010 1011 0001 0001 0000 0000 0000 000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,190 381 954 206 714 002 12(10) =

0,0011 0000 1011 1100 1101 1111 0010 1011 0001 0001 0000 0000 0000 000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,190 381 954 206 714 002 12(10) =

0,0011 0000 1011 1100 1101 1111 0010 1011 0001 0001 0000 0000 0000 000(2) =

0,0011 0000 1011 1100 1101 1111 0010 1011 0001 0001 0000 0000 0000 000(2) × 20 =

1,1000 0101 1110 0110 1111 1001 0101 1000 1000 1000 0000 0000 0000(2) × 2-3


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -3

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0101 1110 0110 1111 1001 0101 1000 1000 1000 0000 0000 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-3 + 2(11-1) - 1 =

(-3 + 1 023)(10) =

1 020(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 020 : 2 = 510 + 0;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1020(10) =

011 1111 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0101 1110 0110 1111 1001 0101 1000 1000 1000 0000 0000 0000 =

1000 0101 1110 0110 1111 1001 0101 1000 1000 1000 0000 0000 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1100

Mantisă (52 biți) =
1000 0101 1110 0110 1111 1001 0101 1000 1000 1000 0000 0000 0000


Numărul zecimal 0,190 381 954 206 714 002 12 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1100 - 1000 0101 1110 0110 1111 1001 0101 1000 1000 1000 0000 0000 0000

» Scriere 0,190 381 954 206 714 002 88 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100