0,299 999 999 999 999 975 019 975 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,299 999 999 999 999 975 019 975(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,299 999 999 999 999 975 019 975(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,299 999 999 999 999 975 019 975.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,299 999 999 999 999 975 019 975 × 2 = 0 + 0,599 999 999 999 999 950 039 95;
  • 2) 0,599 999 999 999 999 950 039 95 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 999 900 079 9;
  • 3) 0,199 999 999 999 999 900 079 9 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 999 800 159 8;
  • 4) 0,399 999 999 999 999 800 159 8 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 999 600 319 6;
  • 5) 0,799 999 999 999 999 600 319 6 × 2 = 1 + 0,599 999 999 999 999 200 639 2;
  • 6) 0,599 999 999 999 999 200 639 2 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 998 401 278 4;
  • 7) 0,199 999 999 999 998 401 278 4 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 996 802 556 8;
  • 8) 0,399 999 999 999 996 802 556 8 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 993 605 113 6;
  • 9) 0,799 999 999 999 993 605 113 6 × 2 = 1 + 0,599 999 999 999 987 210 227 2;
  • 10) 0,599 999 999 999 987 210 227 2 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 974 420 454 4;
  • 11) 0,199 999 999 999 974 420 454 4 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 948 840 908 8;
  • 12) 0,399 999 999 999 948 840 908 8 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 897 681 817 6;
  • 13) 0,799 999 999 999 897 681 817 6 × 2 = 1 + 0,599 999 999 999 795 363 635 2;
  • 14) 0,599 999 999 999 795 363 635 2 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 590 727 270 4;
  • 15) 0,199 999 999 999 590 727 270 4 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 181 454 540 8;
  • 16) 0,399 999 999 999 181 454 540 8 × 2 = 0 + 0,799 999 999 998 362 909 081 6;
  • 17) 0,799 999 999 998 362 909 081 6 × 2 = 1 + 0,599 999 999 996 725 818 163 2;
  • 18) 0,599 999 999 996 725 818 163 2 × 2 = 1 + 0,199 999 999 993 451 636 326 4;
  • 19) 0,199 999 999 993 451 636 326 4 × 2 = 0 + 0,399 999 999 986 903 272 652 8;
  • 20) 0,399 999 999 986 903 272 652 8 × 2 = 0 + 0,799 999 999 973 806 545 305 6;
  • 21) 0,799 999 999 973 806 545 305 6 × 2 = 1 + 0,599 999 999 947 613 090 611 2;
  • 22) 0,599 999 999 947 613 090 611 2 × 2 = 1 + 0,199 999 999 895 226 181 222 4;
  • 23) 0,199 999 999 895 226 181 222 4 × 2 = 0 + 0,399 999 999 790 452 362 444 8;
  • 24) 0,399 999 999 790 452 362 444 8 × 2 = 0 + 0,799 999 999 580 904 724 889 6;
  • 25) 0,799 999 999 580 904 724 889 6 × 2 = 1 + 0,599 999 999 161 809 449 779 2;
  • 26) 0,599 999 999 161 809 449 779 2 × 2 = 1 + 0,199 999 998 323 618 899 558 4;
  • 27) 0,199 999 998 323 618 899 558 4 × 2 = 0 + 0,399 999 996 647 237 799 116 8;
  • 28) 0,399 999 996 647 237 799 116 8 × 2 = 0 + 0,799 999 993 294 475 598 233 6;
  • 29) 0,799 999 993 294 475 598 233 6 × 2 = 1 + 0,599 999 986 588 951 196 467 2;
  • 30) 0,599 999 986 588 951 196 467 2 × 2 = 1 + 0,199 999 973 177 902 392 934 4;
  • 31) 0,199 999 973 177 902 392 934 4 × 2 = 0 + 0,399 999 946 355 804 785 868 8;
  • 32) 0,399 999 946 355 804 785 868 8 × 2 = 0 + 0,799 999 892 711 609 571 737 6;
  • 33) 0,799 999 892 711 609 571 737 6 × 2 = 1 + 0,599 999 785 423 219 143 475 2;
  • 34) 0,599 999 785 423 219 143 475 2 × 2 = 1 + 0,199 999 570 846 438 286 950 4;
  • 35) 0,199 999 570 846 438 286 950 4 × 2 = 0 + 0,399 999 141 692 876 573 900 8;
  • 36) 0,399 999 141 692 876 573 900 8 × 2 = 0 + 0,799 998 283 385 753 147 801 6;
  • 37) 0,799 998 283 385 753 147 801 6 × 2 = 1 + 0,599 996 566 771 506 295 603 2;
  • 38) 0,599 996 566 771 506 295 603 2 × 2 = 1 + 0,199 993 133 543 012 591 206 4;
  • 39) 0,199 993 133 543 012 591 206 4 × 2 = 0 + 0,399 986 267 086 025 182 412 8;
  • 40) 0,399 986 267 086 025 182 412 8 × 2 = 0 + 0,799 972 534 172 050 364 825 6;
  • 41) 0,799 972 534 172 050 364 825 6 × 2 = 1 + 0,599 945 068 344 100 729 651 2;
  • 42) 0,599 945 068 344 100 729 651 2 × 2 = 1 + 0,199 890 136 688 201 459 302 4;
  • 43) 0,199 890 136 688 201 459 302 4 × 2 = 0 + 0,399 780 273 376 402 918 604 8;
  • 44) 0,399 780 273 376 402 918 604 8 × 2 = 0 + 0,799 560 546 752 805 837 209 6;
  • 45) 0,799 560 546 752 805 837 209 6 × 2 = 1 + 0,599 121 093 505 611 674 419 2;
  • 46) 0,599 121 093 505 611 674 419 2 × 2 = 1 + 0,198 242 187 011 223 348 838 4;
  • 47) 0,198 242 187 011 223 348 838 4 × 2 = 0 + 0,396 484 374 022 446 697 676 8;
  • 48) 0,396 484 374 022 446 697 676 8 × 2 = 0 + 0,792 968 748 044 893 395 353 6;
  • 49) 0,792 968 748 044 893 395 353 6 × 2 = 1 + 0,585 937 496 089 786 790 707 2;
  • 50) 0,585 937 496 089 786 790 707 2 × 2 = 1 + 0,171 874 992 179 573 581 414 4;
  • 51) 0,171 874 992 179 573 581 414 4 × 2 = 0 + 0,343 749 984 359 147 162 828 8;
  • 52) 0,343 749 984 359 147 162 828 8 × 2 = 0 + 0,687 499 968 718 294 325 657 6;
  • 53) 0,687 499 968 718 294 325 657 6 × 2 = 1 + 0,374 999 937 436 588 651 315 2;
  • 54) 0,374 999 937 436 588 651 315 2 × 2 = 0 + 0,749 999 874 873 177 302 630 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,299 999 999 999 999 975 019 975(10) =

0,0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 10(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,299 999 999 999 999 975 019 975(10) =

0,0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 10(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,299 999 999 999 999 975 019 975(10) =

0,0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 10(2) =

0,0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 10(2) × 20 =

1,0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010(2) × 2-2


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -2

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-2 + 2(11-1) - 1 =

(-2 + 1 023)(10) =

1 021(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 021 : 2 = 510 + 1;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1021(10) =

011 1111 1101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 =

0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1101

Mantisă (52 biți) =
0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010


Numărul zecimal 0,299 999 999 999 999 975 019 975 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1101 - 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010

» Scriere 0,299 999 999 999 999 975 019 913 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100