0,314 159 265 358 979 323 846 283 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,314 159 265 358 979 323 846 283 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,314 159 265 358 979 323 846 283 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,314 159 265 358 979 323 846 283 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,314 159 265 358 979 323 846 283 4 × 2 = 0 + 0,628 318 530 717 958 647 692 566 8;
  • 2) 0,628 318 530 717 958 647 692 566 8 × 2 = 1 + 0,256 637 061 435 917 295 385 133 6;
  • 3) 0,256 637 061 435 917 295 385 133 6 × 2 = 0 + 0,513 274 122 871 834 590 770 267 2;
  • 4) 0,513 274 122 871 834 590 770 267 2 × 2 = 1 + 0,026 548 245 743 669 181 540 534 4;
  • 5) 0,026 548 245 743 669 181 540 534 4 × 2 = 0 + 0,053 096 491 487 338 363 081 068 8;
  • 6) 0,053 096 491 487 338 363 081 068 8 × 2 = 0 + 0,106 192 982 974 676 726 162 137 6;
  • 7) 0,106 192 982 974 676 726 162 137 6 × 2 = 0 + 0,212 385 965 949 353 452 324 275 2;
  • 8) 0,212 385 965 949 353 452 324 275 2 × 2 = 0 + 0,424 771 931 898 706 904 648 550 4;
  • 9) 0,424 771 931 898 706 904 648 550 4 × 2 = 0 + 0,849 543 863 797 413 809 297 100 8;
  • 10) 0,849 543 863 797 413 809 297 100 8 × 2 = 1 + 0,699 087 727 594 827 618 594 201 6;
  • 11) 0,699 087 727 594 827 618 594 201 6 × 2 = 1 + 0,398 175 455 189 655 237 188 403 2;
  • 12) 0,398 175 455 189 655 237 188 403 2 × 2 = 0 + 0,796 350 910 379 310 474 376 806 4;
  • 13) 0,796 350 910 379 310 474 376 806 4 × 2 = 1 + 0,592 701 820 758 620 948 753 612 8;
  • 14) 0,592 701 820 758 620 948 753 612 8 × 2 = 1 + 0,185 403 641 517 241 897 507 225 6;
  • 15) 0,185 403 641 517 241 897 507 225 6 × 2 = 0 + 0,370 807 283 034 483 795 014 451 2;
  • 16) 0,370 807 283 034 483 795 014 451 2 × 2 = 0 + 0,741 614 566 068 967 590 028 902 4;
  • 17) 0,741 614 566 068 967 590 028 902 4 × 2 = 1 + 0,483 229 132 137 935 180 057 804 8;
  • 18) 0,483 229 132 137 935 180 057 804 8 × 2 = 0 + 0,966 458 264 275 870 360 115 609 6;
  • 19) 0,966 458 264 275 870 360 115 609 6 × 2 = 1 + 0,932 916 528 551 740 720 231 219 2;
  • 20) 0,932 916 528 551 740 720 231 219 2 × 2 = 1 + 0,865 833 057 103 481 440 462 438 4;
  • 21) 0,865 833 057 103 481 440 462 438 4 × 2 = 1 + 0,731 666 114 206 962 880 924 876 8;
  • 22) 0,731 666 114 206 962 880 924 876 8 × 2 = 1 + 0,463 332 228 413 925 761 849 753 6;
  • 23) 0,463 332 228 413 925 761 849 753 6 × 2 = 0 + 0,926 664 456 827 851 523 699 507 2;
  • 24) 0,926 664 456 827 851 523 699 507 2 × 2 = 1 + 0,853 328 913 655 703 047 399 014 4;
  • 25) 0,853 328 913 655 703 047 399 014 4 × 2 = 1 + 0,706 657 827 311 406 094 798 028 8;
  • 26) 0,706 657 827 311 406 094 798 028 8 × 2 = 1 + 0,413 315 654 622 812 189 596 057 6;
  • 27) 0,413 315 654 622 812 189 596 057 6 × 2 = 0 + 0,826 631 309 245 624 379 192 115 2;
  • 28) 0,826 631 309 245 624 379 192 115 2 × 2 = 1 + 0,653 262 618 491 248 758 384 230 4;
  • 29) 0,653 262 618 491 248 758 384 230 4 × 2 = 1 + 0,306 525 236 982 497 516 768 460 8;
  • 30) 0,306 525 236 982 497 516 768 460 8 × 2 = 0 + 0,613 050 473 964 995 033 536 921 6;
  • 31) 0,613 050 473 964 995 033 536 921 6 × 2 = 1 + 0,226 100 947 929 990 067 073 843 2;
  • 32) 0,226 100 947 929 990 067 073 843 2 × 2 = 0 + 0,452 201 895 859 980 134 147 686 4;
  • 33) 0,452 201 895 859 980 134 147 686 4 × 2 = 0 + 0,904 403 791 719 960 268 295 372 8;
  • 34) 0,904 403 791 719 960 268 295 372 8 × 2 = 1 + 0,808 807 583 439 920 536 590 745 6;
  • 35) 0,808 807 583 439 920 536 590 745 6 × 2 = 1 + 0,617 615 166 879 841 073 181 491 2;
  • 36) 0,617 615 166 879 841 073 181 491 2 × 2 = 1 + 0,235 230 333 759 682 146 362 982 4;
  • 37) 0,235 230 333 759 682 146 362 982 4 × 2 = 0 + 0,470 460 667 519 364 292 725 964 8;
  • 38) 0,470 460 667 519 364 292 725 964 8 × 2 = 0 + 0,940 921 335 038 728 585 451 929 6;
  • 39) 0,940 921 335 038 728 585 451 929 6 × 2 = 1 + 0,881 842 670 077 457 170 903 859 2;
  • 40) 0,881 842 670 077 457 170 903 859 2 × 2 = 1 + 0,763 685 340 154 914 341 807 718 4;
  • 41) 0,763 685 340 154 914 341 807 718 4 × 2 = 1 + 0,527 370 680 309 828 683 615 436 8;
  • 42) 0,527 370 680 309 828 683 615 436 8 × 2 = 1 + 0,054 741 360 619 657 367 230 873 6;
  • 43) 0,054 741 360 619 657 367 230 873 6 × 2 = 0 + 0,109 482 721 239 314 734 461 747 2;
  • 44) 0,109 482 721 239 314 734 461 747 2 × 2 = 0 + 0,218 965 442 478 629 468 923 494 4;
  • 45) 0,218 965 442 478 629 468 923 494 4 × 2 = 0 + 0,437 930 884 957 258 937 846 988 8;
  • 46) 0,437 930 884 957 258 937 846 988 8 × 2 = 0 + 0,875 861 769 914 517 875 693 977 6;
  • 47) 0,875 861 769 914 517 875 693 977 6 × 2 = 1 + 0,751 723 539 829 035 751 387 955 2;
  • 48) 0,751 723 539 829 035 751 387 955 2 × 2 = 1 + 0,503 447 079 658 071 502 775 910 4;
  • 49) 0,503 447 079 658 071 502 775 910 4 × 2 = 1 + 0,006 894 159 316 143 005 551 820 8;
  • 50) 0,006 894 159 316 143 005 551 820 8 × 2 = 0 + 0,013 788 318 632 286 011 103 641 6;
  • 51) 0,013 788 318 632 286 011 103 641 6 × 2 = 0 + 0,027 576 637 264 572 022 207 283 2;
  • 52) 0,027 576 637 264 572 022 207 283 2 × 2 = 0 + 0,055 153 274 529 144 044 414 566 4;
  • 53) 0,055 153 274 529 144 044 414 566 4 × 2 = 0 + 0,110 306 549 058 288 088 829 132 8;
  • 54) 0,110 306 549 058 288 088 829 132 8 × 2 = 0 + 0,220 613 098 116 576 177 658 265 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,314 159 265 358 979 323 846 283 4(10) =

0,0101 0000 0110 1100 1011 1101 1101 1010 0111 0011 1100 0011 1000 00(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,314 159 265 358 979 323 846 283 4(10) =

0,0101 0000 0110 1100 1011 1101 1101 1010 0111 0011 1100 0011 1000 00(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,314 159 265 358 979 323 846 283 4(10) =

0,0101 0000 0110 1100 1011 1101 1101 1010 0111 0011 1100 0011 1000 00(2) =

0,0101 0000 0110 1100 1011 1101 1101 1010 0111 0011 1100 0011 1000 00(2) × 20 =

1,0100 0001 1011 0010 1111 0111 0110 1001 1100 1111 0000 1110 0000(2) × 2-2


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -2

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0001 1011 0010 1111 0111 0110 1001 1100 1111 0000 1110 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-2 + 2(11-1) - 1 =

(-2 + 1 023)(10) =

1 021(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 021 : 2 = 510 + 1;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1021(10) =

011 1111 1101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0001 1011 0010 1111 0111 0110 1001 1100 1111 0000 1110 0000 =

0100 0001 1011 0010 1111 0111 0110 1001 1100 1111 0000 1110 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1101

Mantisă (52 biți) =
0100 0001 1011 0010 1111 0111 0110 1001 1100 1111 0000 1110 0000


Numărul zecimal 0,314 159 265 358 979 323 846 283 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1101 - 0100 0001 1011 0010 1111 0111 0110 1001 1100 1111 0000 1110 0000

Distribuie

» Scriere 0,314 159 265 358 979 323 846 277 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100