0,367 879 441 171 443 54 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,367 879 441 171 443 54(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,367 879 441 171 443 54(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,367 879 441 171 443 54.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,367 879 441 171 443 54 × 2 = 0 + 0,735 758 882 342 887 08;
  • 2) 0,735 758 882 342 887 08 × 2 = 1 + 0,471 517 764 685 774 16;
  • 3) 0,471 517 764 685 774 16 × 2 = 0 + 0,943 035 529 371 548 32;
  • 4) 0,943 035 529 371 548 32 × 2 = 1 + 0,886 071 058 743 096 64;
  • 5) 0,886 071 058 743 096 64 × 2 = 1 + 0,772 142 117 486 193 28;
  • 6) 0,772 142 117 486 193 28 × 2 = 1 + 0,544 284 234 972 386 56;
  • 7) 0,544 284 234 972 386 56 × 2 = 1 + 0,088 568 469 944 773 12;
  • 8) 0,088 568 469 944 773 12 × 2 = 0 + 0,177 136 939 889 546 24;
  • 9) 0,177 136 939 889 546 24 × 2 = 0 + 0,354 273 879 779 092 48;
  • 10) 0,354 273 879 779 092 48 × 2 = 0 + 0,708 547 759 558 184 96;
  • 11) 0,708 547 759 558 184 96 × 2 = 1 + 0,417 095 519 116 369 92;
  • 12) 0,417 095 519 116 369 92 × 2 = 0 + 0,834 191 038 232 739 84;
  • 13) 0,834 191 038 232 739 84 × 2 = 1 + 0,668 382 076 465 479 68;
  • 14) 0,668 382 076 465 479 68 × 2 = 1 + 0,336 764 152 930 959 36;
  • 15) 0,336 764 152 930 959 36 × 2 = 0 + 0,673 528 305 861 918 72;
  • 16) 0,673 528 305 861 918 72 × 2 = 1 + 0,347 056 611 723 837 44;
  • 17) 0,347 056 611 723 837 44 × 2 = 0 + 0,694 113 223 447 674 88;
  • 18) 0,694 113 223 447 674 88 × 2 = 1 + 0,388 226 446 895 349 76;
  • 19) 0,388 226 446 895 349 76 × 2 = 0 + 0,776 452 893 790 699 52;
  • 20) 0,776 452 893 790 699 52 × 2 = 1 + 0,552 905 787 581 399 04;
  • 21) 0,552 905 787 581 399 04 × 2 = 1 + 0,105 811 575 162 798 08;
  • 22) 0,105 811 575 162 798 08 × 2 = 0 + 0,211 623 150 325 596 16;
  • 23) 0,211 623 150 325 596 16 × 2 = 0 + 0,423 246 300 651 192 32;
  • 24) 0,423 246 300 651 192 32 × 2 = 0 + 0,846 492 601 302 384 64;
  • 25) 0,846 492 601 302 384 64 × 2 = 1 + 0,692 985 202 604 769 28;
  • 26) 0,692 985 202 604 769 28 × 2 = 1 + 0,385 970 405 209 538 56;
  • 27) 0,385 970 405 209 538 56 × 2 = 0 + 0,771 940 810 419 077 12;
  • 28) 0,771 940 810 419 077 12 × 2 = 1 + 0,543 881 620 838 154 24;
  • 29) 0,543 881 620 838 154 24 × 2 = 1 + 0,087 763 241 676 308 48;
  • 30) 0,087 763 241 676 308 48 × 2 = 0 + 0,175 526 483 352 616 96;
  • 31) 0,175 526 483 352 616 96 × 2 = 0 + 0,351 052 966 705 233 92;
  • 32) 0,351 052 966 705 233 92 × 2 = 0 + 0,702 105 933 410 467 84;
  • 33) 0,702 105 933 410 467 84 × 2 = 1 + 0,404 211 866 820 935 68;
  • 34) 0,404 211 866 820 935 68 × 2 = 0 + 0,808 423 733 641 871 36;
  • 35) 0,808 423 733 641 871 36 × 2 = 1 + 0,616 847 467 283 742 72;
  • 36) 0,616 847 467 283 742 72 × 2 = 1 + 0,233 694 934 567 485 44;
  • 37) 0,233 694 934 567 485 44 × 2 = 0 + 0,467 389 869 134 970 88;
  • 38) 0,467 389 869 134 970 88 × 2 = 0 + 0,934 779 738 269 941 76;
  • 39) 0,934 779 738 269 941 76 × 2 = 1 + 0,869 559 476 539 883 52;
  • 40) 0,869 559 476 539 883 52 × 2 = 1 + 0,739 118 953 079 767 04;
  • 41) 0,739 118 953 079 767 04 × 2 = 1 + 0,478 237 906 159 534 08;
  • 42) 0,478 237 906 159 534 08 × 2 = 0 + 0,956 475 812 319 068 16;
  • 43) 0,956 475 812 319 068 16 × 2 = 1 + 0,912 951 624 638 136 32;
  • 44) 0,912 951 624 638 136 32 × 2 = 1 + 0,825 903 249 276 272 64;
  • 45) 0,825 903 249 276 272 64 × 2 = 1 + 0,651 806 498 552 545 28;
  • 46) 0,651 806 498 552 545 28 × 2 = 1 + 0,303 612 997 105 090 56;
  • 47) 0,303 612 997 105 090 56 × 2 = 0 + 0,607 225 994 210 181 12;
  • 48) 0,607 225 994 210 181 12 × 2 = 1 + 0,214 451 988 420 362 24;
  • 49) 0,214 451 988 420 362 24 × 2 = 0 + 0,428 903 976 840 724 48;
  • 50) 0,428 903 976 840 724 48 × 2 = 0 + 0,857 807 953 681 448 96;
  • 51) 0,857 807 953 681 448 96 × 2 = 1 + 0,715 615 907 362 897 92;
  • 52) 0,715 615 907 362 897 92 × 2 = 1 + 0,431 231 814 725 795 84;
  • 53) 0,431 231 814 725 795 84 × 2 = 0 + 0,862 463 629 451 591 68;
  • 54) 0,862 463 629 451 591 68 × 2 = 1 + 0,724 927 258 903 183 36;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,367 879 441 171 443 54(10) =

0,0101 1110 0010 1101 0101 1000 1101 1000 1011 0011 1011 1101 0011 01(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,367 879 441 171 443 54(10) =

0,0101 1110 0010 1101 0101 1000 1101 1000 1011 0011 1011 1101 0011 01(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,367 879 441 171 443 54(10) =

0,0101 1110 0010 1101 0101 1000 1101 1000 1011 0011 1011 1101 0011 01(2) =

0,0101 1110 0010 1101 0101 1000 1101 1000 1011 0011 1011 1101 0011 01(2) × 20 =

1,0111 1000 1011 0101 0110 0011 0110 0010 1100 1110 1111 0100 1101(2) × 2-2


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -2

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 1000 1011 0101 0110 0011 0110 0010 1100 1110 1111 0100 1101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-2 + 2(11-1) - 1 =

(-2 + 1 023)(10) =

1 021(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 021 : 2 = 510 + 1;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1021(10) =

011 1111 1101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 1000 1011 0101 0110 0011 0110 0010 1100 1110 1111 0100 1101 =

0111 1000 1011 0101 0110 0011 0110 0010 1100 1110 1111 0100 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1101

Mantisă (52 biți) =
0111 1000 1011 0101 0110 0011 0110 0010 1100 1110 1111 0100 1101


Numărul zecimal 0,367 879 441 171 443 54 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1101 - 0111 1000 1011 0101 0110 0011 0110 0010 1100 1110 1111 0100 1101

Distribuie

» Scriere 0,367 879 441 171 443 47 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100