0,402 823 466 385 288 598 117 041 96 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,402 823 466 385 288 598 117 041 96(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,402 823 466 385 288 598 117 041 96(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,402 823 466 385 288 598 117 041 96.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,402 823 466 385 288 598 117 041 96 × 2 = 0 + 0,805 646 932 770 577 196 234 083 92;
  • 2) 0,805 646 932 770 577 196 234 083 92 × 2 = 1 + 0,611 293 865 541 154 392 468 167 84;
  • 3) 0,611 293 865 541 154 392 468 167 84 × 2 = 1 + 0,222 587 731 082 308 784 936 335 68;
  • 4) 0,222 587 731 082 308 784 936 335 68 × 2 = 0 + 0,445 175 462 164 617 569 872 671 36;
  • 5) 0,445 175 462 164 617 569 872 671 36 × 2 = 0 + 0,890 350 924 329 235 139 745 342 72;
  • 6) 0,890 350 924 329 235 139 745 342 72 × 2 = 1 + 0,780 701 848 658 470 279 490 685 44;
  • 7) 0,780 701 848 658 470 279 490 685 44 × 2 = 1 + 0,561 403 697 316 940 558 981 370 88;
  • 8) 0,561 403 697 316 940 558 981 370 88 × 2 = 1 + 0,122 807 394 633 881 117 962 741 76;
  • 9) 0,122 807 394 633 881 117 962 741 76 × 2 = 0 + 0,245 614 789 267 762 235 925 483 52;
  • 10) 0,245 614 789 267 762 235 925 483 52 × 2 = 0 + 0,491 229 578 535 524 471 850 967 04;
  • 11) 0,491 229 578 535 524 471 850 967 04 × 2 = 0 + 0,982 459 157 071 048 943 701 934 08;
  • 12) 0,982 459 157 071 048 943 701 934 08 × 2 = 1 + 0,964 918 314 142 097 887 403 868 16;
  • 13) 0,964 918 314 142 097 887 403 868 16 × 2 = 1 + 0,929 836 628 284 195 774 807 736 32;
  • 14) 0,929 836 628 284 195 774 807 736 32 × 2 = 1 + 0,859 673 256 568 391 549 615 472 64;
  • 15) 0,859 673 256 568 391 549 615 472 64 × 2 = 1 + 0,719 346 513 136 783 099 230 945 28;
  • 16) 0,719 346 513 136 783 099 230 945 28 × 2 = 1 + 0,438 693 026 273 566 198 461 890 56;
  • 17) 0,438 693 026 273 566 198 461 890 56 × 2 = 0 + 0,877 386 052 547 132 396 923 781 12;
  • 18) 0,877 386 052 547 132 396 923 781 12 × 2 = 1 + 0,754 772 105 094 264 793 847 562 24;
  • 19) 0,754 772 105 094 264 793 847 562 24 × 2 = 1 + 0,509 544 210 188 529 587 695 124 48;
  • 20) 0,509 544 210 188 529 587 695 124 48 × 2 = 1 + 0,019 088 420 377 059 175 390 248 96;
  • 21) 0,019 088 420 377 059 175 390 248 96 × 2 = 0 + 0,038 176 840 754 118 350 780 497 92;
  • 22) 0,038 176 840 754 118 350 780 497 92 × 2 = 0 + 0,076 353 681 508 236 701 560 995 84;
  • 23) 0,076 353 681 508 236 701 560 995 84 × 2 = 0 + 0,152 707 363 016 473 403 121 991 68;
  • 24) 0,152 707 363 016 473 403 121 991 68 × 2 = 0 + 0,305 414 726 032 946 806 243 983 36;
  • 25) 0,305 414 726 032 946 806 243 983 36 × 2 = 0 + 0,610 829 452 065 893 612 487 966 72;
  • 26) 0,610 829 452 065 893 612 487 966 72 × 2 = 1 + 0,221 658 904 131 787 224 975 933 44;
  • 27) 0,221 658 904 131 787 224 975 933 44 × 2 = 0 + 0,443 317 808 263 574 449 951 866 88;
  • 28) 0,443 317 808 263 574 449 951 866 88 × 2 = 0 + 0,886 635 616 527 148 899 903 733 76;
  • 29) 0,886 635 616 527 148 899 903 733 76 × 2 = 1 + 0,773 271 233 054 297 799 807 467 52;
  • 30) 0,773 271 233 054 297 799 807 467 52 × 2 = 1 + 0,546 542 466 108 595 599 614 935 04;
  • 31) 0,546 542 466 108 595 599 614 935 04 × 2 = 1 + 0,093 084 932 217 191 199 229 870 08;
  • 32) 0,093 084 932 217 191 199 229 870 08 × 2 = 0 + 0,186 169 864 434 382 398 459 740 16;
  • 33) 0,186 169 864 434 382 398 459 740 16 × 2 = 0 + 0,372 339 728 868 764 796 919 480 32;
  • 34) 0,372 339 728 868 764 796 919 480 32 × 2 = 0 + 0,744 679 457 737 529 593 838 960 64;
  • 35) 0,744 679 457 737 529 593 838 960 64 × 2 = 1 + 0,489 358 915 475 059 187 677 921 28;
  • 36) 0,489 358 915 475 059 187 677 921 28 × 2 = 0 + 0,978 717 830 950 118 375 355 842 56;
  • 37) 0,978 717 830 950 118 375 355 842 56 × 2 = 1 + 0,957 435 661 900 236 750 711 685 12;
  • 38) 0,957 435 661 900 236 750 711 685 12 × 2 = 1 + 0,914 871 323 800 473 501 423 370 24;
  • 39) 0,914 871 323 800 473 501 423 370 24 × 2 = 1 + 0,829 742 647 600 947 002 846 740 48;
  • 40) 0,829 742 647 600 947 002 846 740 48 × 2 = 1 + 0,659 485 295 201 894 005 693 480 96;
  • 41) 0,659 485 295 201 894 005 693 480 96 × 2 = 1 + 0,318 970 590 403 788 011 386 961 92;
  • 42) 0,318 970 590 403 788 011 386 961 92 × 2 = 0 + 0,637 941 180 807 576 022 773 923 84;
  • 43) 0,637 941 180 807 576 022 773 923 84 × 2 = 1 + 0,275 882 361 615 152 045 547 847 68;
  • 44) 0,275 882 361 615 152 045 547 847 68 × 2 = 0 + 0,551 764 723 230 304 091 095 695 36;
  • 45) 0,551 764 723 230 304 091 095 695 36 × 2 = 1 + 0,103 529 446 460 608 182 191 390 72;
  • 46) 0,103 529 446 460 608 182 191 390 72 × 2 = 0 + 0,207 058 892 921 216 364 382 781 44;
  • 47) 0,207 058 892 921 216 364 382 781 44 × 2 = 0 + 0,414 117 785 842 432 728 765 562 88;
  • 48) 0,414 117 785 842 432 728 765 562 88 × 2 = 0 + 0,828 235 571 684 865 457 531 125 76;
  • 49) 0,828 235 571 684 865 457 531 125 76 × 2 = 1 + 0,656 471 143 369 730 915 062 251 52;
  • 50) 0,656 471 143 369 730 915 062 251 52 × 2 = 1 + 0,312 942 286 739 461 830 124 503 04;
  • 51) 0,312 942 286 739 461 830 124 503 04 × 2 = 0 + 0,625 884 573 478 923 660 249 006 08;
  • 52) 0,625 884 573 478 923 660 249 006 08 × 2 = 1 + 0,251 769 146 957 847 320 498 012 16;
  • 53) 0,251 769 146 957 847 320 498 012 16 × 2 = 0 + 0,503 538 293 915 694 640 996 024 32;
  • 54) 0,503 538 293 915 694 640 996 024 32 × 2 = 1 + 0,007 076 587 831 389 281 992 048 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,402 823 466 385 288 598 117 041 96(10) =

0,0110 0111 0001 1111 0111 0000 0100 1110 0010 1111 1010 1000 1101 01(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,402 823 466 385 288 598 117 041 96(10) =

0,0110 0111 0001 1111 0111 0000 0100 1110 0010 1111 1010 1000 1101 01(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,402 823 466 385 288 598 117 041 96(10) =

0,0110 0111 0001 1111 0111 0000 0100 1110 0010 1111 1010 1000 1101 01(2) =

0,0110 0111 0001 1111 0111 0000 0100 1110 0010 1111 1010 1000 1101 01(2) × 20 =

1,1001 1100 0111 1101 1100 0001 0011 1000 1011 1110 1010 0011 0101(2) × 2-2


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -2

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1100 0111 1101 1100 0001 0011 1000 1011 1110 1010 0011 0101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-2 + 2(11-1) - 1 =

(-2 + 1 023)(10) =

1 021(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 021 : 2 = 510 + 1;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1021(10) =

011 1111 1101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1100 0111 1101 1100 0001 0011 1000 1011 1110 1010 0011 0101 =

1001 1100 0111 1101 1100 0001 0011 1000 1011 1110 1010 0011 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1101

Mantisă (52 biți) =
1001 1100 0111 1101 1100 0001 0011 1000 1011 1110 1010 0011 0101


Numărul zecimal 0,402 823 466 385 288 598 117 041 96 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1101 - 1001 1100 0111 1101 1100 0001 0011 1000 1011 1110 1010 0011 0101

Distribuie

» Scriere 0,402 823 466 385 288 598 117 042 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100