0,522 136 891 213 706 920 160 983 524 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,522 136 891 213 706 920 160 983 524(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,522 136 891 213 706 920 160 983 524(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,522 136 891 213 706 920 160 983 524.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,522 136 891 213 706 920 160 983 524 × 2 = 1 + 0,044 273 782 427 413 840 321 967 048;
  • 2) 0,044 273 782 427 413 840 321 967 048 × 2 = 0 + 0,088 547 564 854 827 680 643 934 096;
  • 3) 0,088 547 564 854 827 680 643 934 096 × 2 = 0 + 0,177 095 129 709 655 361 287 868 192;
  • 4) 0,177 095 129 709 655 361 287 868 192 × 2 = 0 + 0,354 190 259 419 310 722 575 736 384;
  • 5) 0,354 190 259 419 310 722 575 736 384 × 2 = 0 + 0,708 380 518 838 621 445 151 472 768;
  • 6) 0,708 380 518 838 621 445 151 472 768 × 2 = 1 + 0,416 761 037 677 242 890 302 945 536;
  • 7) 0,416 761 037 677 242 890 302 945 536 × 2 = 0 + 0,833 522 075 354 485 780 605 891 072;
  • 8) 0,833 522 075 354 485 780 605 891 072 × 2 = 1 + 0,667 044 150 708 971 561 211 782 144;
  • 9) 0,667 044 150 708 971 561 211 782 144 × 2 = 1 + 0,334 088 301 417 943 122 423 564 288;
  • 10) 0,334 088 301 417 943 122 423 564 288 × 2 = 0 + 0,668 176 602 835 886 244 847 128 576;
  • 11) 0,668 176 602 835 886 244 847 128 576 × 2 = 1 + 0,336 353 205 671 772 489 694 257 152;
  • 12) 0,336 353 205 671 772 489 694 257 152 × 2 = 0 + 0,672 706 411 343 544 979 388 514 304;
  • 13) 0,672 706 411 343 544 979 388 514 304 × 2 = 1 + 0,345 412 822 687 089 958 777 028 608;
  • 14) 0,345 412 822 687 089 958 777 028 608 × 2 = 0 + 0,690 825 645 374 179 917 554 057 216;
  • 15) 0,690 825 645 374 179 917 554 057 216 × 2 = 1 + 0,381 651 290 748 359 835 108 114 432;
  • 16) 0,381 651 290 748 359 835 108 114 432 × 2 = 0 + 0,763 302 581 496 719 670 216 228 864;
  • 17) 0,763 302 581 496 719 670 216 228 864 × 2 = 1 + 0,526 605 162 993 439 340 432 457 728;
  • 18) 0,526 605 162 993 439 340 432 457 728 × 2 = 1 + 0,053 210 325 986 878 680 864 915 456;
  • 19) 0,053 210 325 986 878 680 864 915 456 × 2 = 0 + 0,106 420 651 973 757 361 729 830 912;
  • 20) 0,106 420 651 973 757 361 729 830 912 × 2 = 0 + 0,212 841 303 947 514 723 459 661 824;
  • 21) 0,212 841 303 947 514 723 459 661 824 × 2 = 0 + 0,425 682 607 895 029 446 919 323 648;
  • 22) 0,425 682 607 895 029 446 919 323 648 × 2 = 0 + 0,851 365 215 790 058 893 838 647 296;
  • 23) 0,851 365 215 790 058 893 838 647 296 × 2 = 1 + 0,702 730 431 580 117 787 677 294 592;
  • 24) 0,702 730 431 580 117 787 677 294 592 × 2 = 1 + 0,405 460 863 160 235 575 354 589 184;
  • 25) 0,405 460 863 160 235 575 354 589 184 × 2 = 0 + 0,810 921 726 320 471 150 709 178 368;
  • 26) 0,810 921 726 320 471 150 709 178 368 × 2 = 1 + 0,621 843 452 640 942 301 418 356 736;
  • 27) 0,621 843 452 640 942 301 418 356 736 × 2 = 1 + 0,243 686 905 281 884 602 836 713 472;
  • 28) 0,243 686 905 281 884 602 836 713 472 × 2 = 0 + 0,487 373 810 563 769 205 673 426 944;
  • 29) 0,487 373 810 563 769 205 673 426 944 × 2 = 0 + 0,974 747 621 127 538 411 346 853 888;
  • 30) 0,974 747 621 127 538 411 346 853 888 × 2 = 1 + 0,949 495 242 255 076 822 693 707 776;
  • 31) 0,949 495 242 255 076 822 693 707 776 × 2 = 1 + 0,898 990 484 510 153 645 387 415 552;
  • 32) 0,898 990 484 510 153 645 387 415 552 × 2 = 1 + 0,797 980 969 020 307 290 774 831 104;
  • 33) 0,797 980 969 020 307 290 774 831 104 × 2 = 1 + 0,595 961 938 040 614 581 549 662 208;
  • 34) 0,595 961 938 040 614 581 549 662 208 × 2 = 1 + 0,191 923 876 081 229 163 099 324 416;
  • 35) 0,191 923 876 081 229 163 099 324 416 × 2 = 0 + 0,383 847 752 162 458 326 198 648 832;
  • 36) 0,383 847 752 162 458 326 198 648 832 × 2 = 0 + 0,767 695 504 324 916 652 397 297 664;
  • 37) 0,767 695 504 324 916 652 397 297 664 × 2 = 1 + 0,535 391 008 649 833 304 794 595 328;
  • 38) 0,535 391 008 649 833 304 794 595 328 × 2 = 1 + 0,070 782 017 299 666 609 589 190 656;
  • 39) 0,070 782 017 299 666 609 589 190 656 × 2 = 0 + 0,141 564 034 599 333 219 178 381 312;
  • 40) 0,141 564 034 599 333 219 178 381 312 × 2 = 0 + 0,283 128 069 198 666 438 356 762 624;
  • 41) 0,283 128 069 198 666 438 356 762 624 × 2 = 0 + 0,566 256 138 397 332 876 713 525 248;
  • 42) 0,566 256 138 397 332 876 713 525 248 × 2 = 1 + 0,132 512 276 794 665 753 427 050 496;
  • 43) 0,132 512 276 794 665 753 427 050 496 × 2 = 0 + 0,265 024 553 589 331 506 854 100 992;
  • 44) 0,265 024 553 589 331 506 854 100 992 × 2 = 0 + 0,530 049 107 178 663 013 708 201 984;
  • 45) 0,530 049 107 178 663 013 708 201 984 × 2 = 1 + 0,060 098 214 357 326 027 416 403 968;
  • 46) 0,060 098 214 357 326 027 416 403 968 × 2 = 0 + 0,120 196 428 714 652 054 832 807 936;
  • 47) 0,120 196 428 714 652 054 832 807 936 × 2 = 0 + 0,240 392 857 429 304 109 665 615 872;
  • 48) 0,240 392 857 429 304 109 665 615 872 × 2 = 0 + 0,480 785 714 858 608 219 331 231 744;
  • 49) 0,480 785 714 858 608 219 331 231 744 × 2 = 0 + 0,961 571 429 717 216 438 662 463 488;
  • 50) 0,961 571 429 717 216 438 662 463 488 × 2 = 1 + 0,923 142 859 434 432 877 324 926 976;
  • 51) 0,923 142 859 434 432 877 324 926 976 × 2 = 1 + 0,846 285 718 868 865 754 649 853 952;
  • 52) 0,846 285 718 868 865 754 649 853 952 × 2 = 1 + 0,692 571 437 737 731 509 299 707 904;
  • 53) 0,692 571 437 737 731 509 299 707 904 × 2 = 1 + 0,385 142 875 475 463 018 599 415 808;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,522 136 891 213 706 920 160 983 524(10) =

0,1000 0101 1010 1010 1100 0011 0110 0111 1100 1100 0100 1000 0111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,522 136 891 213 706 920 160 983 524(10) =

0,1000 0101 1010 1010 1100 0011 0110 0111 1100 1100 0100 1000 0111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,522 136 891 213 706 920 160 983 524(10) =

0,1000 0101 1010 1010 1100 0011 0110 0111 1100 1100 0100 1000 0111 1(2) =

0,1000 0101 1010 1010 1100 0011 0110 0111 1100 1100 0100 1000 0111 1(2) × 20 =

1,0000 1011 0101 0101 1000 0110 1100 1111 1001 1000 1001 0000 1111(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 1011 0101 0101 1000 0110 1100 1111 1001 1000 1001 0000 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 1011 0101 0101 1000 0110 1100 1111 1001 1000 1001 0000 1111 =

0000 1011 0101 0101 1000 0110 1100 1111 1001 1000 1001 0000 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0000 1011 0101 0101 1000 0110 1100 1111 1001 1000 1001 0000 1111


Numărul zecimal 0,522 136 891 213 706 920 160 983 524 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 0000 1011 0101 0101 1000 0110 1100 1111 1001 1000 1001 0000 1111

Distribuie

» Scriere 0,522 136 891 213 706 920 160 983 491 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100