0,523 598 775 598 298 873 078 72 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,523 598 775 598 298 873 078 72(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,523 598 775 598 298 873 078 72(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,523 598 775 598 298 873 078 72.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,523 598 775 598 298 873 078 72 × 2 = 1 + 0,047 197 551 196 597 746 157 44;
  • 2) 0,047 197 551 196 597 746 157 44 × 2 = 0 + 0,094 395 102 393 195 492 314 88;
  • 3) 0,094 395 102 393 195 492 314 88 × 2 = 0 + 0,188 790 204 786 390 984 629 76;
  • 4) 0,188 790 204 786 390 984 629 76 × 2 = 0 + 0,377 580 409 572 781 969 259 52;
  • 5) 0,377 580 409 572 781 969 259 52 × 2 = 0 + 0,755 160 819 145 563 938 519 04;
  • 6) 0,755 160 819 145 563 938 519 04 × 2 = 1 + 0,510 321 638 291 127 877 038 08;
  • 7) 0,510 321 638 291 127 877 038 08 × 2 = 1 + 0,020 643 276 582 255 754 076 16;
  • 8) 0,020 643 276 582 255 754 076 16 × 2 = 0 + 0,041 286 553 164 511 508 152 32;
  • 9) 0,041 286 553 164 511 508 152 32 × 2 = 0 + 0,082 573 106 329 023 016 304 64;
  • 10) 0,082 573 106 329 023 016 304 64 × 2 = 0 + 0,165 146 212 658 046 032 609 28;
  • 11) 0,165 146 212 658 046 032 609 28 × 2 = 0 + 0,330 292 425 316 092 065 218 56;
  • 12) 0,330 292 425 316 092 065 218 56 × 2 = 0 + 0,660 584 850 632 184 130 437 12;
  • 13) 0,660 584 850 632 184 130 437 12 × 2 = 1 + 0,321 169 701 264 368 260 874 24;
  • 14) 0,321 169 701 264 368 260 874 24 × 2 = 0 + 0,642 339 402 528 736 521 748 48;
  • 15) 0,642 339 402 528 736 521 748 48 × 2 = 1 + 0,284 678 805 057 473 043 496 96;
  • 16) 0,284 678 805 057 473 043 496 96 × 2 = 0 + 0,569 357 610 114 946 086 993 92;
  • 17) 0,569 357 610 114 946 086 993 92 × 2 = 1 + 0,138 715 220 229 892 173 987 84;
  • 18) 0,138 715 220 229 892 173 987 84 × 2 = 0 + 0,277 430 440 459 784 347 975 68;
  • 19) 0,277 430 440 459 784 347 975 68 × 2 = 0 + 0,554 860 880 919 568 695 951 36;
  • 20) 0,554 860 880 919 568 695 951 36 × 2 = 1 + 0,109 721 761 839 137 391 902 72;
  • 21) 0,109 721 761 839 137 391 902 72 × 2 = 0 + 0,219 443 523 678 274 783 805 44;
  • 22) 0,219 443 523 678 274 783 805 44 × 2 = 0 + 0,438 887 047 356 549 567 610 88;
  • 23) 0,438 887 047 356 549 567 610 88 × 2 = 0 + 0,877 774 094 713 099 135 221 76;
  • 24) 0,877 774 094 713 099 135 221 76 × 2 = 1 + 0,755 548 189 426 198 270 443 52;
  • 25) 0,755 548 189 426 198 270 443 52 × 2 = 1 + 0,511 096 378 852 396 540 887 04;
  • 26) 0,511 096 378 852 396 540 887 04 × 2 = 1 + 0,022 192 757 704 793 081 774 08;
  • 27) 0,022 192 757 704 793 081 774 08 × 2 = 0 + 0,044 385 515 409 586 163 548 16;
  • 28) 0,044 385 515 409 586 163 548 16 × 2 = 0 + 0,088 771 030 819 172 327 096 32;
  • 29) 0,088 771 030 819 172 327 096 32 × 2 = 0 + 0,177 542 061 638 344 654 192 64;
  • 30) 0,177 542 061 638 344 654 192 64 × 2 = 0 + 0,355 084 123 276 689 308 385 28;
  • 31) 0,355 084 123 276 689 308 385 28 × 2 = 0 + 0,710 168 246 553 378 616 770 56;
  • 32) 0,710 168 246 553 378 616 770 56 × 2 = 1 + 0,420 336 493 106 757 233 541 12;
  • 33) 0,420 336 493 106 757 233 541 12 × 2 = 0 + 0,840 672 986 213 514 467 082 24;
  • 34) 0,840 672 986 213 514 467 082 24 × 2 = 1 + 0,681 345 972 427 028 934 164 48;
  • 35) 0,681 345 972 427 028 934 164 48 × 2 = 1 + 0,362 691 944 854 057 868 328 96;
  • 36) 0,362 691 944 854 057 868 328 96 × 2 = 0 + 0,725 383 889 708 115 736 657 92;
  • 37) 0,725 383 889 708 115 736 657 92 × 2 = 1 + 0,450 767 779 416 231 473 315 84;
  • 38) 0,450 767 779 416 231 473 315 84 × 2 = 0 + 0,901 535 558 832 462 946 631 68;
  • 39) 0,901 535 558 832 462 946 631 68 × 2 = 1 + 0,803 071 117 664 925 893 263 36;
  • 40) 0,803 071 117 664 925 893 263 36 × 2 = 1 + 0,606 142 235 329 851 786 526 72;
  • 41) 0,606 142 235 329 851 786 526 72 × 2 = 1 + 0,212 284 470 659 703 573 053 44;
  • 42) 0,212 284 470 659 703 573 053 44 × 2 = 0 + 0,424 568 941 319 407 146 106 88;
  • 43) 0,424 568 941 319 407 146 106 88 × 2 = 0 + 0,849 137 882 638 814 292 213 76;
  • 44) 0,849 137 882 638 814 292 213 76 × 2 = 1 + 0,698 275 765 277 628 584 427 52;
  • 45) 0,698 275 765 277 628 584 427 52 × 2 = 1 + 0,396 551 530 555 257 168 855 04;
  • 46) 0,396 551 530 555 257 168 855 04 × 2 = 0 + 0,793 103 061 110 514 337 710 08;
  • 47) 0,793 103 061 110 514 337 710 08 × 2 = 1 + 0,586 206 122 221 028 675 420 16;
  • 48) 0,586 206 122 221 028 675 420 16 × 2 = 1 + 0,172 412 244 442 057 350 840 32;
  • 49) 0,172 412 244 442 057 350 840 32 × 2 = 0 + 0,344 824 488 884 114 701 680 64;
  • 50) 0,344 824 488 884 114 701 680 64 × 2 = 0 + 0,689 648 977 768 229 403 361 28;
  • 51) 0,689 648 977 768 229 403 361 28 × 2 = 1 + 0,379 297 955 536 458 806 722 56;
  • 52) 0,379 297 955 536 458 806 722 56 × 2 = 0 + 0,758 595 911 072 917 613 445 12;
  • 53) 0,758 595 911 072 917 613 445 12 × 2 = 1 + 0,517 191 822 145 835 226 890 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,523 598 775 598 298 873 078 72(10) =

0,1000 0110 0000 1010 1001 0001 1100 0001 0110 1011 1001 1011 0010 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,523 598 775 598 298 873 078 72(10) =

0,1000 0110 0000 1010 1001 0001 1100 0001 0110 1011 1001 1011 0010 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,523 598 775 598 298 873 078 72(10) =

0,1000 0110 0000 1010 1001 0001 1100 0001 0110 1011 1001 1011 0010 1(2) =

0,1000 0110 0000 1010 1001 0001 1100 0001 0110 1011 1001 1011 0010 1(2) × 20 =

1,0000 1100 0001 0101 0010 0011 1000 0010 1101 0111 0011 0110 0101(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 1100 0001 0101 0010 0011 1000 0010 1101 0111 0011 0110 0101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 1100 0001 0101 0010 0011 1000 0010 1101 0111 0011 0110 0101 =

0000 1100 0001 0101 0010 0011 1000 0010 1101 0111 0011 0110 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0000 1100 0001 0101 0010 0011 1000 0010 1101 0111 0011 0110 0101


Numărul zecimal 0,523 598 775 598 298 873 078 72 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 0000 1100 0001 0101 0010 0011 1000 0010 1101 0111 0011 0110 0101

Distribuie

» Scriere 0,523 598 775 598 298 873 078 99 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100