0,545 253 866 332 628 829 603 506 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,545 253 866 332 628 829 603 506 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,545 253 866 332 628 829 603 506 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,545 253 866 332 628 829 603 506 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,545 253 866 332 628 829 603 506 1 × 2 = 1 + 0,090 507 732 665 257 659 207 012 2;
  • 2) 0,090 507 732 665 257 659 207 012 2 × 2 = 0 + 0,181 015 465 330 515 318 414 024 4;
  • 3) 0,181 015 465 330 515 318 414 024 4 × 2 = 0 + 0,362 030 930 661 030 636 828 048 8;
  • 4) 0,362 030 930 661 030 636 828 048 8 × 2 = 0 + 0,724 061 861 322 061 273 656 097 6;
  • 5) 0,724 061 861 322 061 273 656 097 6 × 2 = 1 + 0,448 123 722 644 122 547 312 195 2;
  • 6) 0,448 123 722 644 122 547 312 195 2 × 2 = 0 + 0,896 247 445 288 245 094 624 390 4;
  • 7) 0,896 247 445 288 245 094 624 390 4 × 2 = 1 + 0,792 494 890 576 490 189 248 780 8;
  • 8) 0,792 494 890 576 490 189 248 780 8 × 2 = 1 + 0,584 989 781 152 980 378 497 561 6;
  • 9) 0,584 989 781 152 980 378 497 561 6 × 2 = 1 + 0,169 979 562 305 960 756 995 123 2;
  • 10) 0,169 979 562 305 960 756 995 123 2 × 2 = 0 + 0,339 959 124 611 921 513 990 246 4;
  • 11) 0,339 959 124 611 921 513 990 246 4 × 2 = 0 + 0,679 918 249 223 843 027 980 492 8;
  • 12) 0,679 918 249 223 843 027 980 492 8 × 2 = 1 + 0,359 836 498 447 686 055 960 985 6;
  • 13) 0,359 836 498 447 686 055 960 985 6 × 2 = 0 + 0,719 672 996 895 372 111 921 971 2;
  • 14) 0,719 672 996 895 372 111 921 971 2 × 2 = 1 + 0,439 345 993 790 744 223 843 942 4;
  • 15) 0,439 345 993 790 744 223 843 942 4 × 2 = 0 + 0,878 691 987 581 488 447 687 884 8;
  • 16) 0,878 691 987 581 488 447 687 884 8 × 2 = 1 + 0,757 383 975 162 976 895 375 769 6;
  • 17) 0,757 383 975 162 976 895 375 769 6 × 2 = 1 + 0,514 767 950 325 953 790 751 539 2;
  • 18) 0,514 767 950 325 953 790 751 539 2 × 2 = 1 + 0,029 535 900 651 907 581 503 078 4;
  • 19) 0,029 535 900 651 907 581 503 078 4 × 2 = 0 + 0,059 071 801 303 815 163 006 156 8;
  • 20) 0,059 071 801 303 815 163 006 156 8 × 2 = 0 + 0,118 143 602 607 630 326 012 313 6;
  • 21) 0,118 143 602 607 630 326 012 313 6 × 2 = 0 + 0,236 287 205 215 260 652 024 627 2;
  • 22) 0,236 287 205 215 260 652 024 627 2 × 2 = 0 + 0,472 574 410 430 521 304 049 254 4;
  • 23) 0,472 574 410 430 521 304 049 254 4 × 2 = 0 + 0,945 148 820 861 042 608 098 508 8;
  • 24) 0,945 148 820 861 042 608 098 508 8 × 2 = 1 + 0,890 297 641 722 085 216 197 017 6;
  • 25) 0,890 297 641 722 085 216 197 017 6 × 2 = 1 + 0,780 595 283 444 170 432 394 035 2;
  • 26) 0,780 595 283 444 170 432 394 035 2 × 2 = 1 + 0,561 190 566 888 340 864 788 070 4;
  • 27) 0,561 190 566 888 340 864 788 070 4 × 2 = 1 + 0,122 381 133 776 681 729 576 140 8;
  • 28) 0,122 381 133 776 681 729 576 140 8 × 2 = 0 + 0,244 762 267 553 363 459 152 281 6;
  • 29) 0,244 762 267 553 363 459 152 281 6 × 2 = 0 + 0,489 524 535 106 726 918 304 563 2;
  • 30) 0,489 524 535 106 726 918 304 563 2 × 2 = 0 + 0,979 049 070 213 453 836 609 126 4;
  • 31) 0,979 049 070 213 453 836 609 126 4 × 2 = 1 + 0,958 098 140 426 907 673 218 252 8;
  • 32) 0,958 098 140 426 907 673 218 252 8 × 2 = 1 + 0,916 196 280 853 815 346 436 505 6;
  • 33) 0,916 196 280 853 815 346 436 505 6 × 2 = 1 + 0,832 392 561 707 630 692 873 011 2;
  • 34) 0,832 392 561 707 630 692 873 011 2 × 2 = 1 + 0,664 785 123 415 261 385 746 022 4;
  • 35) 0,664 785 123 415 261 385 746 022 4 × 2 = 1 + 0,329 570 246 830 522 771 492 044 8;
  • 36) 0,329 570 246 830 522 771 492 044 8 × 2 = 0 + 0,659 140 493 661 045 542 984 089 6;
  • 37) 0,659 140 493 661 045 542 984 089 6 × 2 = 1 + 0,318 280 987 322 091 085 968 179 2;
  • 38) 0,318 280 987 322 091 085 968 179 2 × 2 = 0 + 0,636 561 974 644 182 171 936 358 4;
  • 39) 0,636 561 974 644 182 171 936 358 4 × 2 = 1 + 0,273 123 949 288 364 343 872 716 8;
  • 40) 0,273 123 949 288 364 343 872 716 8 × 2 = 0 + 0,546 247 898 576 728 687 745 433 6;
  • 41) 0,546 247 898 576 728 687 745 433 6 × 2 = 1 + 0,092 495 797 153 457 375 490 867 2;
  • 42) 0,092 495 797 153 457 375 490 867 2 × 2 = 0 + 0,184 991 594 306 914 750 981 734 4;
  • 43) 0,184 991 594 306 914 750 981 734 4 × 2 = 0 + 0,369 983 188 613 829 501 963 468 8;
  • 44) 0,369 983 188 613 829 501 963 468 8 × 2 = 0 + 0,739 966 377 227 659 003 926 937 6;
  • 45) 0,739 966 377 227 659 003 926 937 6 × 2 = 1 + 0,479 932 754 455 318 007 853 875 2;
  • 46) 0,479 932 754 455 318 007 853 875 2 × 2 = 0 + 0,959 865 508 910 636 015 707 750 4;
  • 47) 0,959 865 508 910 636 015 707 750 4 × 2 = 1 + 0,919 731 017 821 272 031 415 500 8;
  • 48) 0,919 731 017 821 272 031 415 500 8 × 2 = 1 + 0,839 462 035 642 544 062 831 001 6;
  • 49) 0,839 462 035 642 544 062 831 001 6 × 2 = 1 + 0,678 924 071 285 088 125 662 003 2;
  • 50) 0,678 924 071 285 088 125 662 003 2 × 2 = 1 + 0,357 848 142 570 176 251 324 006 4;
  • 51) 0,357 848 142 570 176 251 324 006 4 × 2 = 0 + 0,715 696 285 140 352 502 648 012 8;
  • 52) 0,715 696 285 140 352 502 648 012 8 × 2 = 1 + 0,431 392 570 280 705 005 296 025 6;
  • 53) 0,431 392 570 280 705 005 296 025 6 × 2 = 0 + 0,862 785 140 561 410 010 592 051 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,545 253 866 332 628 829 603 506 1(10) =

0,1000 1011 1001 0101 1100 0001 1110 0011 1110 1010 1000 1011 1101 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,545 253 866 332 628 829 603 506 1(10) =

0,1000 1011 1001 0101 1100 0001 1110 0011 1110 1010 1000 1011 1101 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,545 253 866 332 628 829 603 506 1(10) =

0,1000 1011 1001 0101 1100 0001 1110 0011 1110 1010 1000 1011 1101 0(2) =

0,1000 1011 1001 0101 1100 0001 1110 0011 1110 1010 1000 1011 1101 0(2) × 20 =

1,0001 0111 0010 1011 1000 0011 1100 0111 1101 0101 0001 0111 1010(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0111 0010 1011 1000 0011 1100 0111 1101 0101 0001 0111 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0111 0010 1011 1000 0011 1100 0111 1101 0101 0001 0111 1010 =

0001 0111 0010 1011 1000 0011 1100 0111 1101 0101 0001 0111 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0001 0111 0010 1011 1000 0011 1100 0111 1101 0101 0001 0111 1010


Numărul zecimal 0,545 253 866 332 628 829 603 506 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 0001 0111 0010 1011 1000 0011 1100 0111 1101 0101 0001 0111 1010

Distribuie

» Scriere 0,545 253 866 332 628 829 603 513 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100