0,594 603 557 501 360 533 358 750 72 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,594 603 557 501 360 533 358 750 72(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,594 603 557 501 360 533 358 750 72(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,594 603 557 501 360 533 358 750 72.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,594 603 557 501 360 533 358 750 72 × 2 = 1 + 0,189 207 115 002 721 066 717 501 44;
  • 2) 0,189 207 115 002 721 066 717 501 44 × 2 = 0 + 0,378 414 230 005 442 133 435 002 88;
  • 3) 0,378 414 230 005 442 133 435 002 88 × 2 = 0 + 0,756 828 460 010 884 266 870 005 76;
  • 4) 0,756 828 460 010 884 266 870 005 76 × 2 = 1 + 0,513 656 920 021 768 533 740 011 52;
  • 5) 0,513 656 920 021 768 533 740 011 52 × 2 = 1 + 0,027 313 840 043 537 067 480 023 04;
  • 6) 0,027 313 840 043 537 067 480 023 04 × 2 = 0 + 0,054 627 680 087 074 134 960 046 08;
  • 7) 0,054 627 680 087 074 134 960 046 08 × 2 = 0 + 0,109 255 360 174 148 269 920 092 16;
  • 8) 0,109 255 360 174 148 269 920 092 16 × 2 = 0 + 0,218 510 720 348 296 539 840 184 32;
  • 9) 0,218 510 720 348 296 539 840 184 32 × 2 = 0 + 0,437 021 440 696 593 079 680 368 64;
  • 10) 0,437 021 440 696 593 079 680 368 64 × 2 = 0 + 0,874 042 881 393 186 159 360 737 28;
  • 11) 0,874 042 881 393 186 159 360 737 28 × 2 = 1 + 0,748 085 762 786 372 318 721 474 56;
  • 12) 0,748 085 762 786 372 318 721 474 56 × 2 = 1 + 0,496 171 525 572 744 637 442 949 12;
  • 13) 0,496 171 525 572 744 637 442 949 12 × 2 = 0 + 0,992 343 051 145 489 274 885 898 24;
  • 14) 0,992 343 051 145 489 274 885 898 24 × 2 = 1 + 0,984 686 102 290 978 549 771 796 48;
  • 15) 0,984 686 102 290 978 549 771 796 48 × 2 = 1 + 0,969 372 204 581 957 099 543 592 96;
  • 16) 0,969 372 204 581 957 099 543 592 96 × 2 = 1 + 0,938 744 409 163 914 199 087 185 92;
  • 17) 0,938 744 409 163 914 199 087 185 92 × 2 = 1 + 0,877 488 818 327 828 398 174 371 84;
  • 18) 0,877 488 818 327 828 398 174 371 84 × 2 = 1 + 0,754 977 636 655 656 796 348 743 68;
  • 19) 0,754 977 636 655 656 796 348 743 68 × 2 = 1 + 0,509 955 273 311 313 592 697 487 36;
  • 20) 0,509 955 273 311 313 592 697 487 36 × 2 = 1 + 0,019 910 546 622 627 185 394 974 72;
  • 21) 0,019 910 546 622 627 185 394 974 72 × 2 = 0 + 0,039 821 093 245 254 370 789 949 44;
  • 22) 0,039 821 093 245 254 370 789 949 44 × 2 = 0 + 0,079 642 186 490 508 741 579 898 88;
  • 23) 0,079 642 186 490 508 741 579 898 88 × 2 = 0 + 0,159 284 372 981 017 483 159 797 76;
  • 24) 0,159 284 372 981 017 483 159 797 76 × 2 = 0 + 0,318 568 745 962 034 966 319 595 52;
  • 25) 0,318 568 745 962 034 966 319 595 52 × 2 = 0 + 0,637 137 491 924 069 932 639 191 04;
  • 26) 0,637 137 491 924 069 932 639 191 04 × 2 = 1 + 0,274 274 983 848 139 865 278 382 08;
  • 27) 0,274 274 983 848 139 865 278 382 08 × 2 = 0 + 0,548 549 967 696 279 730 556 764 16;
  • 28) 0,548 549 967 696 279 730 556 764 16 × 2 = 1 + 0,097 099 935 392 559 461 113 528 32;
  • 29) 0,097 099 935 392 559 461 113 528 32 × 2 = 0 + 0,194 199 870 785 118 922 227 056 64;
  • 30) 0,194 199 870 785 118 922 227 056 64 × 2 = 0 + 0,388 399 741 570 237 844 454 113 28;
  • 31) 0,388 399 741 570 237 844 454 113 28 × 2 = 0 + 0,776 799 483 140 475 688 908 226 56;
  • 32) 0,776 799 483 140 475 688 908 226 56 × 2 = 1 + 0,553 598 966 280 951 377 816 453 12;
  • 33) 0,553 598 966 280 951 377 816 453 12 × 2 = 1 + 0,107 197 932 561 902 755 632 906 24;
  • 34) 0,107 197 932 561 902 755 632 906 24 × 2 = 0 + 0,214 395 865 123 805 511 265 812 48;
  • 35) 0,214 395 865 123 805 511 265 812 48 × 2 = 0 + 0,428 791 730 247 611 022 531 624 96;
  • 36) 0,428 791 730 247 611 022 531 624 96 × 2 = 0 + 0,857 583 460 495 222 045 063 249 92;
  • 37) 0,857 583 460 495 222 045 063 249 92 × 2 = 1 + 0,715 166 920 990 444 090 126 499 84;
  • 38) 0,715 166 920 990 444 090 126 499 84 × 2 = 1 + 0,430 333 841 980 888 180 252 999 68;
  • 39) 0,430 333 841 980 888 180 252 999 68 × 2 = 0 + 0,860 667 683 961 776 360 505 999 36;
  • 40) 0,860 667 683 961 776 360 505 999 36 × 2 = 1 + 0,721 335 367 923 552 721 011 998 72;
  • 41) 0,721 335 367 923 552 721 011 998 72 × 2 = 1 + 0,442 670 735 847 105 442 023 997 44;
  • 42) 0,442 670 735 847 105 442 023 997 44 × 2 = 0 + 0,885 341 471 694 210 884 047 994 88;
  • 43) 0,885 341 471 694 210 884 047 994 88 × 2 = 1 + 0,770 682 943 388 421 768 095 989 76;
  • 44) 0,770 682 943 388 421 768 095 989 76 × 2 = 1 + 0,541 365 886 776 843 536 191 979 52;
  • 45) 0,541 365 886 776 843 536 191 979 52 × 2 = 1 + 0,082 731 773 553 687 072 383 959 04;
  • 46) 0,082 731 773 553 687 072 383 959 04 × 2 = 0 + 0,165 463 547 107 374 144 767 918 08;
  • 47) 0,165 463 547 107 374 144 767 918 08 × 2 = 0 + 0,330 927 094 214 748 289 535 836 16;
  • 48) 0,330 927 094 214 748 289 535 836 16 × 2 = 0 + 0,661 854 188 429 496 579 071 672 32;
  • 49) 0,661 854 188 429 496 579 071 672 32 × 2 = 1 + 0,323 708 376 858 993 158 143 344 64;
  • 50) 0,323 708 376 858 993 158 143 344 64 × 2 = 0 + 0,647 416 753 717 986 316 286 689 28;
  • 51) 0,647 416 753 717 986 316 286 689 28 × 2 = 1 + 0,294 833 507 435 972 632 573 378 56;
  • 52) 0,294 833 507 435 972 632 573 378 56 × 2 = 0 + 0,589 667 014 871 945 265 146 757 12;
  • 53) 0,589 667 014 871 945 265 146 757 12 × 2 = 1 + 0,179 334 029 743 890 530 293 514 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,594 603 557 501 360 533 358 750 72(10) =

0,1001 1000 0011 0111 1111 0000 0101 0001 1000 1101 1011 1000 1010 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,594 603 557 501 360 533 358 750 72(10) =

0,1001 1000 0011 0111 1111 0000 0101 0001 1000 1101 1011 1000 1010 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,594 603 557 501 360 533 358 750 72(10) =

0,1001 1000 0011 0111 1111 0000 0101 0001 1000 1101 1011 1000 1010 1(2) =

0,1001 1000 0011 0111 1111 0000 0101 0001 1000 1101 1011 1000 1010 1(2) × 20 =

1,0011 0000 0110 1111 1110 0000 1010 0011 0001 1011 0111 0001 0101(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0000 0110 1111 1110 0000 1010 0011 0001 1011 0111 0001 0101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0000 0110 1111 1110 0000 1010 0011 0001 1011 0111 0001 0101 =

0011 0000 0110 1111 1110 0000 1010 0011 0001 1011 0111 0001 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0011 0000 0110 1111 1110 0000 1010 0011 0001 1011 0111 0001 0101


Numărul zecimal 0,594 603 557 501 360 533 358 750 72 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 0011 0000 0110 1111 1110 0000 1010 0011 0001 1011 0111 0001 0101

» Scriere 0,594 603 557 501 360 533 358 751 55 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100