0,599 999 999 999 968 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,599 999 999 999 968 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,599 999 999 999 968 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,599 999 999 999 968 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,599 999 999 999 968 2 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 936 4;
  • 2) 0,199 999 999 999 936 4 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 872 8;
  • 3) 0,399 999 999 999 872 8 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 745 6;
  • 4) 0,799 999 999 999 745 6 × 2 = 1 + 0,599 999 999 999 491 2;
  • 5) 0,599 999 999 999 491 2 × 2 = 1 + 0,199 999 999 998 982 4;
  • 6) 0,199 999 999 998 982 4 × 2 = 0 + 0,399 999 999 997 964 8;
  • 7) 0,399 999 999 997 964 8 × 2 = 0 + 0,799 999 999 995 929 6;
  • 8) 0,799 999 999 995 929 6 × 2 = 1 + 0,599 999 999 991 859 2;
  • 9) 0,599 999 999 991 859 2 × 2 = 1 + 0,199 999 999 983 718 4;
  • 10) 0,199 999 999 983 718 4 × 2 = 0 + 0,399 999 999 967 436 8;
  • 11) 0,399 999 999 967 436 8 × 2 = 0 + 0,799 999 999 934 873 6;
  • 12) 0,799 999 999 934 873 6 × 2 = 1 + 0,599 999 999 869 747 2;
  • 13) 0,599 999 999 869 747 2 × 2 = 1 + 0,199 999 999 739 494 4;
  • 14) 0,199 999 999 739 494 4 × 2 = 0 + 0,399 999 999 478 988 8;
  • 15) 0,399 999 999 478 988 8 × 2 = 0 + 0,799 999 998 957 977 6;
  • 16) 0,799 999 998 957 977 6 × 2 = 1 + 0,599 999 997 915 955 2;
  • 17) 0,599 999 997 915 955 2 × 2 = 1 + 0,199 999 995 831 910 4;
  • 18) 0,199 999 995 831 910 4 × 2 = 0 + 0,399 999 991 663 820 8;
  • 19) 0,399 999 991 663 820 8 × 2 = 0 + 0,799 999 983 327 641 6;
  • 20) 0,799 999 983 327 641 6 × 2 = 1 + 0,599 999 966 655 283 2;
  • 21) 0,599 999 966 655 283 2 × 2 = 1 + 0,199 999 933 310 566 4;
  • 22) 0,199 999 933 310 566 4 × 2 = 0 + 0,399 999 866 621 132 8;
  • 23) 0,399 999 866 621 132 8 × 2 = 0 + 0,799 999 733 242 265 6;
  • 24) 0,799 999 733 242 265 6 × 2 = 1 + 0,599 999 466 484 531 2;
  • 25) 0,599 999 466 484 531 2 × 2 = 1 + 0,199 998 932 969 062 4;
  • 26) 0,199 998 932 969 062 4 × 2 = 0 + 0,399 997 865 938 124 8;
  • 27) 0,399 997 865 938 124 8 × 2 = 0 + 0,799 995 731 876 249 6;
  • 28) 0,799 995 731 876 249 6 × 2 = 1 + 0,599 991 463 752 499 2;
  • 29) 0,599 991 463 752 499 2 × 2 = 1 + 0,199 982 927 504 998 4;
  • 30) 0,199 982 927 504 998 4 × 2 = 0 + 0,399 965 855 009 996 8;
  • 31) 0,399 965 855 009 996 8 × 2 = 0 + 0,799 931 710 019 993 6;
  • 32) 0,799 931 710 019 993 6 × 2 = 1 + 0,599 863 420 039 987 2;
  • 33) 0,599 863 420 039 987 2 × 2 = 1 + 0,199 726 840 079 974 4;
  • 34) 0,199 726 840 079 974 4 × 2 = 0 + 0,399 453 680 159 948 8;
  • 35) 0,399 453 680 159 948 8 × 2 = 0 + 0,798 907 360 319 897 6;
  • 36) 0,798 907 360 319 897 6 × 2 = 1 + 0,597 814 720 639 795 2;
  • 37) 0,597 814 720 639 795 2 × 2 = 1 + 0,195 629 441 279 590 4;
  • 38) 0,195 629 441 279 590 4 × 2 = 0 + 0,391 258 882 559 180 8;
  • 39) 0,391 258 882 559 180 8 × 2 = 0 + 0,782 517 765 118 361 6;
  • 40) 0,782 517 765 118 361 6 × 2 = 1 + 0,565 035 530 236 723 2;
  • 41) 0,565 035 530 236 723 2 × 2 = 1 + 0,130 071 060 473 446 4;
  • 42) 0,130 071 060 473 446 4 × 2 = 0 + 0,260 142 120 946 892 8;
  • 43) 0,260 142 120 946 892 8 × 2 = 0 + 0,520 284 241 893 785 6;
  • 44) 0,520 284 241 893 785 6 × 2 = 1 + 0,040 568 483 787 571 2;
  • 45) 0,040 568 483 787 571 2 × 2 = 0 + 0,081 136 967 575 142 4;
  • 46) 0,081 136 967 575 142 4 × 2 = 0 + 0,162 273 935 150 284 8;
  • 47) 0,162 273 935 150 284 8 × 2 = 0 + 0,324 547 870 300 569 6;
  • 48) 0,324 547 870 300 569 6 × 2 = 0 + 0,649 095 740 601 139 2;
  • 49) 0,649 095 740 601 139 2 × 2 = 1 + 0,298 191 481 202 278 4;
  • 50) 0,298 191 481 202 278 4 × 2 = 0 + 0,596 382 962 404 556 8;
  • 51) 0,596 382 962 404 556 8 × 2 = 1 + 0,192 765 924 809 113 6;
  • 52) 0,192 765 924 809 113 6 × 2 = 0 + 0,385 531 849 618 227 2;
  • 53) 0,385 531 849 618 227 2 × 2 = 0 + 0,771 063 699 236 454 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,599 999 999 999 968 2(10) =

0,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 1010 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,599 999 999 999 968 2(10) =

0,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 1010 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,599 999 999 999 968 2(10) =

0,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 1010 0(2) =

0,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 1010 0(2) × 20 =

1,0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 0001 0100(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 0001 0100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 0001 0100 =

0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 0001 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 0001 0100


Numărul zecimal 0,599 999 999 999 968 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 0001 0100

» Scriere 0,599 999 999 999 959 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100