0,620 928 906 036 742 024 296 74 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,620 928 906 036 742 024 296 74(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,620 928 906 036 742 024 296 74(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,620 928 906 036 742 024 296 74.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,620 928 906 036 742 024 296 74 × 2 = 1 + 0,241 857 812 073 484 048 593 48;
  • 2) 0,241 857 812 073 484 048 593 48 × 2 = 0 + 0,483 715 624 146 968 097 186 96;
  • 3) 0,483 715 624 146 968 097 186 96 × 2 = 0 + 0,967 431 248 293 936 194 373 92;
  • 4) 0,967 431 248 293 936 194 373 92 × 2 = 1 + 0,934 862 496 587 872 388 747 84;
  • 5) 0,934 862 496 587 872 388 747 84 × 2 = 1 + 0,869 724 993 175 744 777 495 68;
  • 6) 0,869 724 993 175 744 777 495 68 × 2 = 1 + 0,739 449 986 351 489 554 991 36;
  • 7) 0,739 449 986 351 489 554 991 36 × 2 = 1 + 0,478 899 972 702 979 109 982 72;
  • 8) 0,478 899 972 702 979 109 982 72 × 2 = 0 + 0,957 799 945 405 958 219 965 44;
  • 9) 0,957 799 945 405 958 219 965 44 × 2 = 1 + 0,915 599 890 811 916 439 930 88;
  • 10) 0,915 599 890 811 916 439 930 88 × 2 = 1 + 0,831 199 781 623 832 879 861 76;
  • 11) 0,831 199 781 623 832 879 861 76 × 2 = 1 + 0,662 399 563 247 665 759 723 52;
  • 12) 0,662 399 563 247 665 759 723 52 × 2 = 1 + 0,324 799 126 495 331 519 447 04;
  • 13) 0,324 799 126 495 331 519 447 04 × 2 = 0 + 0,649 598 252 990 663 038 894 08;
  • 14) 0,649 598 252 990 663 038 894 08 × 2 = 1 + 0,299 196 505 981 326 077 788 16;
  • 15) 0,299 196 505 981 326 077 788 16 × 2 = 0 + 0,598 393 011 962 652 155 576 32;
  • 16) 0,598 393 011 962 652 155 576 32 × 2 = 1 + 0,196 786 023 925 304 311 152 64;
  • 17) 0,196 786 023 925 304 311 152 64 × 2 = 0 + 0,393 572 047 850 608 622 305 28;
  • 18) 0,393 572 047 850 608 622 305 28 × 2 = 0 + 0,787 144 095 701 217 244 610 56;
  • 19) 0,787 144 095 701 217 244 610 56 × 2 = 1 + 0,574 288 191 402 434 489 221 12;
  • 20) 0,574 288 191 402 434 489 221 12 × 2 = 1 + 0,148 576 382 804 868 978 442 24;
  • 21) 0,148 576 382 804 868 978 442 24 × 2 = 0 + 0,297 152 765 609 737 956 884 48;
  • 22) 0,297 152 765 609 737 956 884 48 × 2 = 0 + 0,594 305 531 219 475 913 768 96;
  • 23) 0,594 305 531 219 475 913 768 96 × 2 = 1 + 0,188 611 062 438 951 827 537 92;
  • 24) 0,188 611 062 438 951 827 537 92 × 2 = 0 + 0,377 222 124 877 903 655 075 84;
  • 25) 0,377 222 124 877 903 655 075 84 × 2 = 0 + 0,754 444 249 755 807 310 151 68;
  • 26) 0,754 444 249 755 807 310 151 68 × 2 = 1 + 0,508 888 499 511 614 620 303 36;
  • 27) 0,508 888 499 511 614 620 303 36 × 2 = 1 + 0,017 776 999 023 229 240 606 72;
  • 28) 0,017 776 999 023 229 240 606 72 × 2 = 0 + 0,035 553 998 046 458 481 213 44;
  • 29) 0,035 553 998 046 458 481 213 44 × 2 = 0 + 0,071 107 996 092 916 962 426 88;
  • 30) 0,071 107 996 092 916 962 426 88 × 2 = 0 + 0,142 215 992 185 833 924 853 76;
  • 31) 0,142 215 992 185 833 924 853 76 × 2 = 0 + 0,284 431 984 371 667 849 707 52;
  • 32) 0,284 431 984 371 667 849 707 52 × 2 = 0 + 0,568 863 968 743 335 699 415 04;
  • 33) 0,568 863 968 743 335 699 415 04 × 2 = 1 + 0,137 727 937 486 671 398 830 08;
  • 34) 0,137 727 937 486 671 398 830 08 × 2 = 0 + 0,275 455 874 973 342 797 660 16;
  • 35) 0,275 455 874 973 342 797 660 16 × 2 = 0 + 0,550 911 749 946 685 595 320 32;
  • 36) 0,550 911 749 946 685 595 320 32 × 2 = 1 + 0,101 823 499 893 371 190 640 64;
  • 37) 0,101 823 499 893 371 190 640 64 × 2 = 0 + 0,203 646 999 786 742 381 281 28;
  • 38) 0,203 646 999 786 742 381 281 28 × 2 = 0 + 0,407 293 999 573 484 762 562 56;
  • 39) 0,407 293 999 573 484 762 562 56 × 2 = 0 + 0,814 587 999 146 969 525 125 12;
  • 40) 0,814 587 999 146 969 525 125 12 × 2 = 1 + 0,629 175 998 293 939 050 250 24;
  • 41) 0,629 175 998 293 939 050 250 24 × 2 = 1 + 0,258 351 996 587 878 100 500 48;
  • 42) 0,258 351 996 587 878 100 500 48 × 2 = 0 + 0,516 703 993 175 756 201 000 96;
  • 43) 0,516 703 993 175 756 201 000 96 × 2 = 1 + 0,033 407 986 351 512 402 001 92;
  • 44) 0,033 407 986 351 512 402 001 92 × 2 = 0 + 0,066 815 972 703 024 804 003 84;
  • 45) 0,066 815 972 703 024 804 003 84 × 2 = 0 + 0,133 631 945 406 049 608 007 68;
  • 46) 0,133 631 945 406 049 608 007 68 × 2 = 0 + 0,267 263 890 812 099 216 015 36;
  • 47) 0,267 263 890 812 099 216 015 36 × 2 = 0 + 0,534 527 781 624 198 432 030 72;
  • 48) 0,534 527 781 624 198 432 030 72 × 2 = 1 + 0,069 055 563 248 396 864 061 44;
  • 49) 0,069 055 563 248 396 864 061 44 × 2 = 0 + 0,138 111 126 496 793 728 122 88;
  • 50) 0,138 111 126 496 793 728 122 88 × 2 = 0 + 0,276 222 252 993 587 456 245 76;
  • 51) 0,276 222 252 993 587 456 245 76 × 2 = 0 + 0,552 444 505 987 174 912 491 52;
  • 52) 0,552 444 505 987 174 912 491 52 × 2 = 1 + 0,104 889 011 974 349 824 983 04;
  • 53) 0,104 889 011 974 349 824 983 04 × 2 = 0 + 0,209 778 023 948 699 649 966 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,620 928 906 036 742 024 296 74(10) =

0,1001 1110 1111 0101 0011 0010 0110 0000 1001 0001 1010 0001 0001 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,620 928 906 036 742 024 296 74(10) =

0,1001 1110 1111 0101 0011 0010 0110 0000 1001 0001 1010 0001 0001 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,620 928 906 036 742 024 296 74(10) =

0,1001 1110 1111 0101 0011 0010 0110 0000 1001 0001 1010 0001 0001 0(2) =

0,1001 1110 1111 0101 0011 0010 0110 0000 1001 0001 1010 0001 0001 0(2) × 20 =

1,0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010 =

0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010


Numărul zecimal 0,620 928 906 036 742 024 296 74 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010

Distribuie

» Scriere 0,620 928 906 036 742 024 297 47 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100