0,648 419 777 325 504 832 966 877 062 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,648 419 777 325 504 832 966 877 062 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,648 419 777 325 504 832 966 877 062 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,648 419 777 325 504 832 966 877 062 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,648 419 777 325 504 832 966 877 062 5 × 2 = 1 + 0,296 839 554 651 009 665 933 754 125;
  • 2) 0,296 839 554 651 009 665 933 754 125 × 2 = 0 + 0,593 679 109 302 019 331 867 508 25;
  • 3) 0,593 679 109 302 019 331 867 508 25 × 2 = 1 + 0,187 358 218 604 038 663 735 016 5;
  • 4) 0,187 358 218 604 038 663 735 016 5 × 2 = 0 + 0,374 716 437 208 077 327 470 033;
  • 5) 0,374 716 437 208 077 327 470 033 × 2 = 0 + 0,749 432 874 416 154 654 940 066;
  • 6) 0,749 432 874 416 154 654 940 066 × 2 = 1 + 0,498 865 748 832 309 309 880 132;
  • 7) 0,498 865 748 832 309 309 880 132 × 2 = 0 + 0,997 731 497 664 618 619 760 264;
  • 8) 0,997 731 497 664 618 619 760 264 × 2 = 1 + 0,995 462 995 329 237 239 520 528;
  • 9) 0,995 462 995 329 237 239 520 528 × 2 = 1 + 0,990 925 990 658 474 479 041 056;
  • 10) 0,990 925 990 658 474 479 041 056 × 2 = 1 + 0,981 851 981 316 948 958 082 112;
  • 11) 0,981 851 981 316 948 958 082 112 × 2 = 1 + 0,963 703 962 633 897 916 164 224;
  • 12) 0,963 703 962 633 897 916 164 224 × 2 = 1 + 0,927 407 925 267 795 832 328 448;
  • 13) 0,927 407 925 267 795 832 328 448 × 2 = 1 + 0,854 815 850 535 591 664 656 896;
  • 14) 0,854 815 850 535 591 664 656 896 × 2 = 1 + 0,709 631 701 071 183 329 313 792;
  • 15) 0,709 631 701 071 183 329 313 792 × 2 = 1 + 0,419 263 402 142 366 658 627 584;
  • 16) 0,419 263 402 142 366 658 627 584 × 2 = 0 + 0,838 526 804 284 733 317 255 168;
  • 17) 0,838 526 804 284 733 317 255 168 × 2 = 1 + 0,677 053 608 569 466 634 510 336;
  • 18) 0,677 053 608 569 466 634 510 336 × 2 = 1 + 0,354 107 217 138 933 269 020 672;
  • 19) 0,354 107 217 138 933 269 020 672 × 2 = 0 + 0,708 214 434 277 866 538 041 344;
  • 20) 0,708 214 434 277 866 538 041 344 × 2 = 1 + 0,416 428 868 555 733 076 082 688;
  • 21) 0,416 428 868 555 733 076 082 688 × 2 = 0 + 0,832 857 737 111 466 152 165 376;
  • 22) 0,832 857 737 111 466 152 165 376 × 2 = 1 + 0,665 715 474 222 932 304 330 752;
  • 23) 0,665 715 474 222 932 304 330 752 × 2 = 1 + 0,331 430 948 445 864 608 661 504;
  • 24) 0,331 430 948 445 864 608 661 504 × 2 = 0 + 0,662 861 896 891 729 217 323 008;
  • 25) 0,662 861 896 891 729 217 323 008 × 2 = 1 + 0,325 723 793 783 458 434 646 016;
  • 26) 0,325 723 793 783 458 434 646 016 × 2 = 0 + 0,651 447 587 566 916 869 292 032;
  • 27) 0,651 447 587 566 916 869 292 032 × 2 = 1 + 0,302 895 175 133 833 738 584 064;
  • 28) 0,302 895 175 133 833 738 584 064 × 2 = 0 + 0,605 790 350 267 667 477 168 128;
  • 29) 0,605 790 350 267 667 477 168 128 × 2 = 1 + 0,211 580 700 535 334 954 336 256;
  • 30) 0,211 580 700 535 334 954 336 256 × 2 = 0 + 0,423 161 401 070 669 908 672 512;
  • 31) 0,423 161 401 070 669 908 672 512 × 2 = 0 + 0,846 322 802 141 339 817 345 024;
  • 32) 0,846 322 802 141 339 817 345 024 × 2 = 1 + 0,692 645 604 282 679 634 690 048;
  • 33) 0,692 645 604 282 679 634 690 048 × 2 = 1 + 0,385 291 208 565 359 269 380 096;
  • 34) 0,385 291 208 565 359 269 380 096 × 2 = 0 + 0,770 582 417 130 718 538 760 192;
  • 35) 0,770 582 417 130 718 538 760 192 × 2 = 1 + 0,541 164 834 261 437 077 520 384;
  • 36) 0,541 164 834 261 437 077 520 384 × 2 = 1 + 0,082 329 668 522 874 155 040 768;
  • 37) 0,082 329 668 522 874 155 040 768 × 2 = 0 + 0,164 659 337 045 748 310 081 536;
  • 38) 0,164 659 337 045 748 310 081 536 × 2 = 0 + 0,329 318 674 091 496 620 163 072;
  • 39) 0,329 318 674 091 496 620 163 072 × 2 = 0 + 0,658 637 348 182 993 240 326 144;
  • 40) 0,658 637 348 182 993 240 326 144 × 2 = 1 + 0,317 274 696 365 986 480 652 288;
  • 41) 0,317 274 696 365 986 480 652 288 × 2 = 0 + 0,634 549 392 731 972 961 304 576;
  • 42) 0,634 549 392 731 972 961 304 576 × 2 = 1 + 0,269 098 785 463 945 922 609 152;
  • 43) 0,269 098 785 463 945 922 609 152 × 2 = 0 + 0,538 197 570 927 891 845 218 304;
  • 44) 0,538 197 570 927 891 845 218 304 × 2 = 1 + 0,076 395 141 855 783 690 436 608;
  • 45) 0,076 395 141 855 783 690 436 608 × 2 = 0 + 0,152 790 283 711 567 380 873 216;
  • 46) 0,152 790 283 711 567 380 873 216 × 2 = 0 + 0,305 580 567 423 134 761 746 432;
  • 47) 0,305 580 567 423 134 761 746 432 × 2 = 0 + 0,611 161 134 846 269 523 492 864;
  • 48) 0,611 161 134 846 269 523 492 864 × 2 = 1 + 0,222 322 269 692 539 046 985 728;
  • 49) 0,222 322 269 692 539 046 985 728 × 2 = 0 + 0,444 644 539 385 078 093 971 456;
  • 50) 0,444 644 539 385 078 093 971 456 × 2 = 0 + 0,889 289 078 770 156 187 942 912;
  • 51) 0,889 289 078 770 156 187 942 912 × 2 = 1 + 0,778 578 157 540 312 375 885 824;
  • 52) 0,778 578 157 540 312 375 885 824 × 2 = 1 + 0,557 156 315 080 624 751 771 648;
  • 53) 0,557 156 315 080 624 751 771 648 × 2 = 1 + 0,114 312 630 161 249 503 543 296;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,648 419 777 325 504 832 966 877 062 5(10) =

0,1010 0101 1111 1110 1101 0110 1010 1001 1011 0001 0101 0001 0011 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,648 419 777 325 504 832 966 877 062 5(10) =

0,1010 0101 1111 1110 1101 0110 1010 1001 1011 0001 0101 0001 0011 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,648 419 777 325 504 832 966 877 062 5(10) =

0,1010 0101 1111 1110 1101 0110 1010 1001 1011 0001 0101 0001 0011 1(2) =

0,1010 0101 1111 1110 1101 0110 1010 1001 1011 0001 0101 0001 0011 1(2) × 20 =

1,0100 1011 1111 1101 1010 1101 0101 0011 0110 0010 1010 0010 0111(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 1011 1111 1101 1010 1101 0101 0011 0110 0010 1010 0010 0111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 1011 1111 1101 1010 1101 0101 0011 0110 0010 1010 0010 0111 =

0100 1011 1111 1101 1010 1101 0101 0011 0110 0010 1010 0010 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0100 1011 1111 1101 1010 1101 0101 0011 0110 0010 1010 0010 0111


Numărul zecimal 0,648 419 777 325 504 832 966 877 062 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 0100 1011 1111 1101 1010 1101 0101 0011 0110 0010 1010 0010 0111

» Scriere 0,648 419 777 325 504 832 966 877 070 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100