0,677 127 773 468 446 364 149 583 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,677 127 773 468 446 364 149 583(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,677 127 773 468 446 364 149 583(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,677 127 773 468 446 364 149 583.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,677 127 773 468 446 364 149 583 × 2 = 1 + 0,354 255 546 936 892 728 299 166;
  • 2) 0,354 255 546 936 892 728 299 166 × 2 = 0 + 0,708 511 093 873 785 456 598 332;
  • 3) 0,708 511 093 873 785 456 598 332 × 2 = 1 + 0,417 022 187 747 570 913 196 664;
  • 4) 0,417 022 187 747 570 913 196 664 × 2 = 0 + 0,834 044 375 495 141 826 393 328;
  • 5) 0,834 044 375 495 141 826 393 328 × 2 = 1 + 0,668 088 750 990 283 652 786 656;
  • 6) 0,668 088 750 990 283 652 786 656 × 2 = 1 + 0,336 177 501 980 567 305 573 312;
  • 7) 0,336 177 501 980 567 305 573 312 × 2 = 0 + 0,672 355 003 961 134 611 146 624;
  • 8) 0,672 355 003 961 134 611 146 624 × 2 = 1 + 0,344 710 007 922 269 222 293 248;
  • 9) 0,344 710 007 922 269 222 293 248 × 2 = 0 + 0,689 420 015 844 538 444 586 496;
  • 10) 0,689 420 015 844 538 444 586 496 × 2 = 1 + 0,378 840 031 689 076 889 172 992;
  • 11) 0,378 840 031 689 076 889 172 992 × 2 = 0 + 0,757 680 063 378 153 778 345 984;
  • 12) 0,757 680 063 378 153 778 345 984 × 2 = 1 + 0,515 360 126 756 307 556 691 968;
  • 13) 0,515 360 126 756 307 556 691 968 × 2 = 1 + 0,030 720 253 512 615 113 383 936;
  • 14) 0,030 720 253 512 615 113 383 936 × 2 = 0 + 0,061 440 507 025 230 226 767 872;
  • 15) 0,061 440 507 025 230 226 767 872 × 2 = 0 + 0,122 881 014 050 460 453 535 744;
  • 16) 0,122 881 014 050 460 453 535 744 × 2 = 0 + 0,245 762 028 100 920 907 071 488;
  • 17) 0,245 762 028 100 920 907 071 488 × 2 = 0 + 0,491 524 056 201 841 814 142 976;
  • 18) 0,491 524 056 201 841 814 142 976 × 2 = 0 + 0,983 048 112 403 683 628 285 952;
  • 19) 0,983 048 112 403 683 628 285 952 × 2 = 1 + 0,966 096 224 807 367 256 571 904;
  • 20) 0,966 096 224 807 367 256 571 904 × 2 = 1 + 0,932 192 449 614 734 513 143 808;
  • 21) 0,932 192 449 614 734 513 143 808 × 2 = 1 + 0,864 384 899 229 469 026 287 616;
  • 22) 0,864 384 899 229 469 026 287 616 × 2 = 1 + 0,728 769 798 458 938 052 575 232;
  • 23) 0,728 769 798 458 938 052 575 232 × 2 = 1 + 0,457 539 596 917 876 105 150 464;
  • 24) 0,457 539 596 917 876 105 150 464 × 2 = 0 + 0,915 079 193 835 752 210 300 928;
  • 25) 0,915 079 193 835 752 210 300 928 × 2 = 1 + 0,830 158 387 671 504 420 601 856;
  • 26) 0,830 158 387 671 504 420 601 856 × 2 = 1 + 0,660 316 775 343 008 841 203 712;
  • 27) 0,660 316 775 343 008 841 203 712 × 2 = 1 + 0,320 633 550 686 017 682 407 424;
  • 28) 0,320 633 550 686 017 682 407 424 × 2 = 0 + 0,641 267 101 372 035 364 814 848;
  • 29) 0,641 267 101 372 035 364 814 848 × 2 = 1 + 0,282 534 202 744 070 729 629 696;
  • 30) 0,282 534 202 744 070 729 629 696 × 2 = 0 + 0,565 068 405 488 141 459 259 392;
  • 31) 0,565 068 405 488 141 459 259 392 × 2 = 1 + 0,130 136 810 976 282 918 518 784;
  • 32) 0,130 136 810 976 282 918 518 784 × 2 = 0 + 0,260 273 621 952 565 837 037 568;
  • 33) 0,260 273 621 952 565 837 037 568 × 2 = 0 + 0,520 547 243 905 131 674 075 136;
  • 34) 0,520 547 243 905 131 674 075 136 × 2 = 1 + 0,041 094 487 810 263 348 150 272;
  • 35) 0,041 094 487 810 263 348 150 272 × 2 = 0 + 0,082 188 975 620 526 696 300 544;
  • 36) 0,082 188 975 620 526 696 300 544 × 2 = 0 + 0,164 377 951 241 053 392 601 088;
  • 37) 0,164 377 951 241 053 392 601 088 × 2 = 0 + 0,328 755 902 482 106 785 202 176;
  • 38) 0,328 755 902 482 106 785 202 176 × 2 = 0 + 0,657 511 804 964 213 570 404 352;
  • 39) 0,657 511 804 964 213 570 404 352 × 2 = 1 + 0,315 023 609 928 427 140 808 704;
  • 40) 0,315 023 609 928 427 140 808 704 × 2 = 0 + 0,630 047 219 856 854 281 617 408;
  • 41) 0,630 047 219 856 854 281 617 408 × 2 = 1 + 0,260 094 439 713 708 563 234 816;
  • 42) 0,260 094 439 713 708 563 234 816 × 2 = 0 + 0,520 188 879 427 417 126 469 632;
  • 43) 0,520 188 879 427 417 126 469 632 × 2 = 1 + 0,040 377 758 854 834 252 939 264;
  • 44) 0,040 377 758 854 834 252 939 264 × 2 = 0 + 0,080 755 517 709 668 505 878 528;
  • 45) 0,080 755 517 709 668 505 878 528 × 2 = 0 + 0,161 511 035 419 337 011 757 056;
  • 46) 0,161 511 035 419 337 011 757 056 × 2 = 0 + 0,323 022 070 838 674 023 514 112;
  • 47) 0,323 022 070 838 674 023 514 112 × 2 = 0 + 0,646 044 141 677 348 047 028 224;
  • 48) 0,646 044 141 677 348 047 028 224 × 2 = 1 + 0,292 088 283 354 696 094 056 448;
  • 49) 0,292 088 283 354 696 094 056 448 × 2 = 0 + 0,584 176 566 709 392 188 112 896;
  • 50) 0,584 176 566 709 392 188 112 896 × 2 = 1 + 0,168 353 133 418 784 376 225 792;
  • 51) 0,168 353 133 418 784 376 225 792 × 2 = 0 + 0,336 706 266 837 568 752 451 584;
  • 52) 0,336 706 266 837 568 752 451 584 × 2 = 0 + 0,673 412 533 675 137 504 903 168;
  • 53) 0,673 412 533 675 137 504 903 168 × 2 = 1 + 0,346 825 067 350 275 009 806 336;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,677 127 773 468 446 364 149 583(10) =

0,1010 1101 0101 1000 0011 1110 1110 1010 0100 0010 1010 0001 0100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,677 127 773 468 446 364 149 583(10) =

0,1010 1101 0101 1000 0011 1110 1110 1010 0100 0010 1010 0001 0100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,677 127 773 468 446 364 149 583(10) =

0,1010 1101 0101 1000 0011 1110 1110 1010 0100 0010 1010 0001 0100 1(2) =

0,1010 1101 0101 1000 0011 1110 1110 1010 0100 0010 1010 0001 0100 1(2) × 20 =

1,0101 1010 1011 0000 0111 1101 1101 0100 1000 0101 0100 0010 1001(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1010 1011 0000 0111 1101 1101 0100 1000 0101 0100 0010 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1010 1011 0000 0111 1101 1101 0100 1000 0101 0100 0010 1001 =

0101 1010 1011 0000 0111 1101 1101 0100 1000 0101 0100 0010 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0101 1010 1011 0000 0111 1101 1101 0100 1000 0101 0100 0010 1001


Numărul zecimal 0,677 127 773 468 446 364 149 583 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 0101 1010 1011 0000 0111 1101 1101 0100 1000 0101 0100 0010 1001

» Scriere 0,677 127 773 468 446 364 149 605 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100