0,738 413 072 969 749 655 19 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,738 413 072 969 749 655 19(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,738 413 072 969 749 655 19(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,738 413 072 969 749 655 19.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,738 413 072 969 749 655 19 × 2 = 1 + 0,476 826 145 939 499 310 38;
  • 2) 0,476 826 145 939 499 310 38 × 2 = 0 + 0,953 652 291 878 998 620 76;
  • 3) 0,953 652 291 878 998 620 76 × 2 = 1 + 0,907 304 583 757 997 241 52;
  • 4) 0,907 304 583 757 997 241 52 × 2 = 1 + 0,814 609 167 515 994 483 04;
  • 5) 0,814 609 167 515 994 483 04 × 2 = 1 + 0,629 218 335 031 988 966 08;
  • 6) 0,629 218 335 031 988 966 08 × 2 = 1 + 0,258 436 670 063 977 932 16;
  • 7) 0,258 436 670 063 977 932 16 × 2 = 0 + 0,516 873 340 127 955 864 32;
  • 8) 0,516 873 340 127 955 864 32 × 2 = 1 + 0,033 746 680 255 911 728 64;
  • 9) 0,033 746 680 255 911 728 64 × 2 = 0 + 0,067 493 360 511 823 457 28;
  • 10) 0,067 493 360 511 823 457 28 × 2 = 0 + 0,134 986 721 023 646 914 56;
  • 11) 0,134 986 721 023 646 914 56 × 2 = 0 + 0,269 973 442 047 293 829 12;
  • 12) 0,269 973 442 047 293 829 12 × 2 = 0 + 0,539 946 884 094 587 658 24;
  • 13) 0,539 946 884 094 587 658 24 × 2 = 1 + 0,079 893 768 189 175 316 48;
  • 14) 0,079 893 768 189 175 316 48 × 2 = 0 + 0,159 787 536 378 350 632 96;
  • 15) 0,159 787 536 378 350 632 96 × 2 = 0 + 0,319 575 072 756 701 265 92;
  • 16) 0,319 575 072 756 701 265 92 × 2 = 0 + 0,639 150 145 513 402 531 84;
  • 17) 0,639 150 145 513 402 531 84 × 2 = 1 + 0,278 300 291 026 805 063 68;
  • 18) 0,278 300 291 026 805 063 68 × 2 = 0 + 0,556 600 582 053 610 127 36;
  • 19) 0,556 600 582 053 610 127 36 × 2 = 1 + 0,113 201 164 107 220 254 72;
  • 20) 0,113 201 164 107 220 254 72 × 2 = 0 + 0,226 402 328 214 440 509 44;
  • 21) 0,226 402 328 214 440 509 44 × 2 = 0 + 0,452 804 656 428 881 018 88;
  • 22) 0,452 804 656 428 881 018 88 × 2 = 0 + 0,905 609 312 857 762 037 76;
  • 23) 0,905 609 312 857 762 037 76 × 2 = 1 + 0,811 218 625 715 524 075 52;
  • 24) 0,811 218 625 715 524 075 52 × 2 = 1 + 0,622 437 251 431 048 151 04;
  • 25) 0,622 437 251 431 048 151 04 × 2 = 1 + 0,244 874 502 862 096 302 08;
  • 26) 0,244 874 502 862 096 302 08 × 2 = 0 + 0,489 749 005 724 192 604 16;
  • 27) 0,489 749 005 724 192 604 16 × 2 = 0 + 0,979 498 011 448 385 208 32;
  • 28) 0,979 498 011 448 385 208 32 × 2 = 1 + 0,958 996 022 896 770 416 64;
  • 29) 0,958 996 022 896 770 416 64 × 2 = 1 + 0,917 992 045 793 540 833 28;
  • 30) 0,917 992 045 793 540 833 28 × 2 = 1 + 0,835 984 091 587 081 666 56;
  • 31) 0,835 984 091 587 081 666 56 × 2 = 1 + 0,671 968 183 174 163 333 12;
  • 32) 0,671 968 183 174 163 333 12 × 2 = 1 + 0,343 936 366 348 326 666 24;
  • 33) 0,343 936 366 348 326 666 24 × 2 = 0 + 0,687 872 732 696 653 332 48;
  • 34) 0,687 872 732 696 653 332 48 × 2 = 1 + 0,375 745 465 393 306 664 96;
  • 35) 0,375 745 465 393 306 664 96 × 2 = 0 + 0,751 490 930 786 613 329 92;
  • 36) 0,751 490 930 786 613 329 92 × 2 = 1 + 0,502 981 861 573 226 659 84;
  • 37) 0,502 981 861 573 226 659 84 × 2 = 1 + 0,005 963 723 146 453 319 68;
  • 38) 0,005 963 723 146 453 319 68 × 2 = 0 + 0,011 927 446 292 906 639 36;
  • 39) 0,011 927 446 292 906 639 36 × 2 = 0 + 0,023 854 892 585 813 278 72;
  • 40) 0,023 854 892 585 813 278 72 × 2 = 0 + 0,047 709 785 171 626 557 44;
  • 41) 0,047 709 785 171 626 557 44 × 2 = 0 + 0,095 419 570 343 253 114 88;
  • 42) 0,095 419 570 343 253 114 88 × 2 = 0 + 0,190 839 140 686 506 229 76;
  • 43) 0,190 839 140 686 506 229 76 × 2 = 0 + 0,381 678 281 373 012 459 52;
  • 44) 0,381 678 281 373 012 459 52 × 2 = 0 + 0,763 356 562 746 024 919 04;
  • 45) 0,763 356 562 746 024 919 04 × 2 = 1 + 0,526 713 125 492 049 838 08;
  • 46) 0,526 713 125 492 049 838 08 × 2 = 1 + 0,053 426 250 984 099 676 16;
  • 47) 0,053 426 250 984 099 676 16 × 2 = 0 + 0,106 852 501 968 199 352 32;
  • 48) 0,106 852 501 968 199 352 32 × 2 = 0 + 0,213 705 003 936 398 704 64;
  • 49) 0,213 705 003 936 398 704 64 × 2 = 0 + 0,427 410 007 872 797 409 28;
  • 50) 0,427 410 007 872 797 409 28 × 2 = 0 + 0,854 820 015 745 594 818 56;
  • 51) 0,854 820 015 745 594 818 56 × 2 = 1 + 0,709 640 031 491 189 637 12;
  • 52) 0,709 640 031 491 189 637 12 × 2 = 1 + 0,419 280 062 982 379 274 24;
  • 53) 0,419 280 062 982 379 274 24 × 2 = 0 + 0,838 560 125 964 758 548 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,738 413 072 969 749 655 19(10) =

0,1011 1101 0000 1000 1010 0011 1001 1111 0101 1000 0000 1100 0011 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,738 413 072 969 749 655 19(10) =

0,1011 1101 0000 1000 1010 0011 1001 1111 0101 1000 0000 1100 0011 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,738 413 072 969 749 655 19(10) =

0,1011 1101 0000 1000 1010 0011 1001 1111 0101 1000 0000 1100 0011 0(2) =

0,1011 1101 0000 1000 1010 0011 1001 1111 0101 1000 0000 1100 0011 0(2) × 20 =

1,0111 1010 0001 0001 0100 0111 0011 1110 1011 0000 0001 1000 0110(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 1010 0001 0001 0100 0111 0011 1110 1011 0000 0001 1000 0110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 1010 0001 0001 0100 0111 0011 1110 1011 0000 0001 1000 0110 =

0111 1010 0001 0001 0100 0111 0011 1110 1011 0000 0001 1000 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0111 1010 0001 0001 0100 0111 0011 1110 1011 0000 0001 1000 0110


Numărul zecimal 0,738 413 072 969 749 655 19 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 0111 1010 0001 0001 0100 0111 0011 1110 1011 0000 0001 1000 0110

Distribuie

» Scriere 0,738 413 072 969 749 655 74 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100