0,738 413 072 969 749 674 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,738 413 072 969 749 674 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,738 413 072 969 749 674 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,738 413 072 969 749 674 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,738 413 072 969 749 674 1 × 2 = 1 + 0,476 826 145 939 499 348 2;
  • 2) 0,476 826 145 939 499 348 2 × 2 = 0 + 0,953 652 291 878 998 696 4;
  • 3) 0,953 652 291 878 998 696 4 × 2 = 1 + 0,907 304 583 757 997 392 8;
  • 4) 0,907 304 583 757 997 392 8 × 2 = 1 + 0,814 609 167 515 994 785 6;
  • 5) 0,814 609 167 515 994 785 6 × 2 = 1 + 0,629 218 335 031 989 571 2;
  • 6) 0,629 218 335 031 989 571 2 × 2 = 1 + 0,258 436 670 063 979 142 4;
  • 7) 0,258 436 670 063 979 142 4 × 2 = 0 + 0,516 873 340 127 958 284 8;
  • 8) 0,516 873 340 127 958 284 8 × 2 = 1 + 0,033 746 680 255 916 569 6;
  • 9) 0,033 746 680 255 916 569 6 × 2 = 0 + 0,067 493 360 511 833 139 2;
  • 10) 0,067 493 360 511 833 139 2 × 2 = 0 + 0,134 986 721 023 666 278 4;
  • 11) 0,134 986 721 023 666 278 4 × 2 = 0 + 0,269 973 442 047 332 556 8;
  • 12) 0,269 973 442 047 332 556 8 × 2 = 0 + 0,539 946 884 094 665 113 6;
  • 13) 0,539 946 884 094 665 113 6 × 2 = 1 + 0,079 893 768 189 330 227 2;
  • 14) 0,079 893 768 189 330 227 2 × 2 = 0 + 0,159 787 536 378 660 454 4;
  • 15) 0,159 787 536 378 660 454 4 × 2 = 0 + 0,319 575 072 757 320 908 8;
  • 16) 0,319 575 072 757 320 908 8 × 2 = 0 + 0,639 150 145 514 641 817 6;
  • 17) 0,639 150 145 514 641 817 6 × 2 = 1 + 0,278 300 291 029 283 635 2;
  • 18) 0,278 300 291 029 283 635 2 × 2 = 0 + 0,556 600 582 058 567 270 4;
  • 19) 0,556 600 582 058 567 270 4 × 2 = 1 + 0,113 201 164 117 134 540 8;
  • 20) 0,113 201 164 117 134 540 8 × 2 = 0 + 0,226 402 328 234 269 081 6;
  • 21) 0,226 402 328 234 269 081 6 × 2 = 0 + 0,452 804 656 468 538 163 2;
  • 22) 0,452 804 656 468 538 163 2 × 2 = 0 + 0,905 609 312 937 076 326 4;
  • 23) 0,905 609 312 937 076 326 4 × 2 = 1 + 0,811 218 625 874 152 652 8;
  • 24) 0,811 218 625 874 152 652 8 × 2 = 1 + 0,622 437 251 748 305 305 6;
  • 25) 0,622 437 251 748 305 305 6 × 2 = 1 + 0,244 874 503 496 610 611 2;
  • 26) 0,244 874 503 496 610 611 2 × 2 = 0 + 0,489 749 006 993 221 222 4;
  • 27) 0,489 749 006 993 221 222 4 × 2 = 0 + 0,979 498 013 986 442 444 8;
  • 28) 0,979 498 013 986 442 444 8 × 2 = 1 + 0,958 996 027 972 884 889 6;
  • 29) 0,958 996 027 972 884 889 6 × 2 = 1 + 0,917 992 055 945 769 779 2;
  • 30) 0,917 992 055 945 769 779 2 × 2 = 1 + 0,835 984 111 891 539 558 4;
  • 31) 0,835 984 111 891 539 558 4 × 2 = 1 + 0,671 968 223 783 079 116 8;
  • 32) 0,671 968 223 783 079 116 8 × 2 = 1 + 0,343 936 447 566 158 233 6;
  • 33) 0,343 936 447 566 158 233 6 × 2 = 0 + 0,687 872 895 132 316 467 2;
  • 34) 0,687 872 895 132 316 467 2 × 2 = 1 + 0,375 745 790 264 632 934 4;
  • 35) 0,375 745 790 264 632 934 4 × 2 = 0 + 0,751 491 580 529 265 868 8;
  • 36) 0,751 491 580 529 265 868 8 × 2 = 1 + 0,502 983 161 058 531 737 6;
  • 37) 0,502 983 161 058 531 737 6 × 2 = 1 + 0,005 966 322 117 063 475 2;
  • 38) 0,005 966 322 117 063 475 2 × 2 = 0 + 0,011 932 644 234 126 950 4;
  • 39) 0,011 932 644 234 126 950 4 × 2 = 0 + 0,023 865 288 468 253 900 8;
  • 40) 0,023 865 288 468 253 900 8 × 2 = 0 + 0,047 730 576 936 507 801 6;
  • 41) 0,047 730 576 936 507 801 6 × 2 = 0 + 0,095 461 153 873 015 603 2;
  • 42) 0,095 461 153 873 015 603 2 × 2 = 0 + 0,190 922 307 746 031 206 4;
  • 43) 0,190 922 307 746 031 206 4 × 2 = 0 + 0,381 844 615 492 062 412 8;
  • 44) 0,381 844 615 492 062 412 8 × 2 = 0 + 0,763 689 230 984 124 825 6;
  • 45) 0,763 689 230 984 124 825 6 × 2 = 1 + 0,527 378 461 968 249 651 2;
  • 46) 0,527 378 461 968 249 651 2 × 2 = 1 + 0,054 756 923 936 499 302 4;
  • 47) 0,054 756 923 936 499 302 4 × 2 = 0 + 0,109 513 847 872 998 604 8;
  • 48) 0,109 513 847 872 998 604 8 × 2 = 0 + 0,219 027 695 745 997 209 6;
  • 49) 0,219 027 695 745 997 209 6 × 2 = 0 + 0,438 055 391 491 994 419 2;
  • 50) 0,438 055 391 491 994 419 2 × 2 = 0 + 0,876 110 782 983 988 838 4;
  • 51) 0,876 110 782 983 988 838 4 × 2 = 1 + 0,752 221 565 967 977 676 8;
  • 52) 0,752 221 565 967 977 676 8 × 2 = 1 + 0,504 443 131 935 955 353 6;
  • 53) 0,504 443 131 935 955 353 6 × 2 = 1 + 0,008 886 263 871 910 707 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,738 413 072 969 749 674 1(10) =

0,1011 1101 0000 1000 1010 0011 1001 1111 0101 1000 0000 1100 0011 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,738 413 072 969 749 674 1(10) =

0,1011 1101 0000 1000 1010 0011 1001 1111 0101 1000 0000 1100 0011 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,738 413 072 969 749 674 1(10) =

0,1011 1101 0000 1000 1010 0011 1001 1111 0101 1000 0000 1100 0011 1(2) =

0,1011 1101 0000 1000 1010 0011 1001 1111 0101 1000 0000 1100 0011 1(2) × 20 =

1,0111 1010 0001 0001 0100 0111 0011 1110 1011 0000 0001 1000 0111(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 1010 0001 0001 0100 0111 0011 1110 1011 0000 0001 1000 0111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 1010 0001 0001 0100 0111 0011 1110 1011 0000 0001 1000 0111 =

0111 1010 0001 0001 0100 0111 0011 1110 1011 0000 0001 1000 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0111 1010 0001 0001 0100 0111 0011 1110 1011 0000 0001 1000 0111


Numărul zecimal 0,738 413 072 969 749 674 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 0111 1010 0001 0001 0100 0111 0011 1110 1011 0000 0001 1000 0111

» Scriere 0,738 413 072 969 749 664 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100