0,785 398 163 397 448 163 531 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,785 398 163 397 448 163 531 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,785 398 163 397 448 163 531 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,785 398 163 397 448 163 531 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,785 398 163 397 448 163 531 6 × 2 = 1 + 0,570 796 326 794 896 327 063 2;
  • 2) 0,570 796 326 794 896 327 063 2 × 2 = 1 + 0,141 592 653 589 792 654 126 4;
  • 3) 0,141 592 653 589 792 654 126 4 × 2 = 0 + 0,283 185 307 179 585 308 252 8;
  • 4) 0,283 185 307 179 585 308 252 8 × 2 = 0 + 0,566 370 614 359 170 616 505 6;
  • 5) 0,566 370 614 359 170 616 505 6 × 2 = 1 + 0,132 741 228 718 341 233 011 2;
  • 6) 0,132 741 228 718 341 233 011 2 × 2 = 0 + 0,265 482 457 436 682 466 022 4;
  • 7) 0,265 482 457 436 682 466 022 4 × 2 = 0 + 0,530 964 914 873 364 932 044 8;
  • 8) 0,530 964 914 873 364 932 044 8 × 2 = 1 + 0,061 929 829 746 729 864 089 6;
  • 9) 0,061 929 829 746 729 864 089 6 × 2 = 0 + 0,123 859 659 493 459 728 179 2;
  • 10) 0,123 859 659 493 459 728 179 2 × 2 = 0 + 0,247 719 318 986 919 456 358 4;
  • 11) 0,247 719 318 986 919 456 358 4 × 2 = 0 + 0,495 438 637 973 838 912 716 8;
  • 12) 0,495 438 637 973 838 912 716 8 × 2 = 0 + 0,990 877 275 947 677 825 433 6;
  • 13) 0,990 877 275 947 677 825 433 6 × 2 = 1 + 0,981 754 551 895 355 650 867 2;
  • 14) 0,981 754 551 895 355 650 867 2 × 2 = 1 + 0,963 509 103 790 711 301 734 4;
  • 15) 0,963 509 103 790 711 301 734 4 × 2 = 1 + 0,927 018 207 581 422 603 468 8;
  • 16) 0,927 018 207 581 422 603 468 8 × 2 = 1 + 0,854 036 415 162 845 206 937 6;
  • 17) 0,854 036 415 162 845 206 937 6 × 2 = 1 + 0,708 072 830 325 690 413 875 2;
  • 18) 0,708 072 830 325 690 413 875 2 × 2 = 1 + 0,416 145 660 651 380 827 750 4;
  • 19) 0,416 145 660 651 380 827 750 4 × 2 = 0 + 0,832 291 321 302 761 655 500 8;
  • 20) 0,832 291 321 302 761 655 500 8 × 2 = 1 + 0,664 582 642 605 523 311 001 6;
  • 21) 0,664 582 642 605 523 311 001 6 × 2 = 1 + 0,329 165 285 211 046 622 003 2;
  • 22) 0,329 165 285 211 046 622 003 2 × 2 = 0 + 0,658 330 570 422 093 244 006 4;
  • 23) 0,658 330 570 422 093 244 006 4 × 2 = 1 + 0,316 661 140 844 186 488 012 8;
  • 24) 0,316 661 140 844 186 488 012 8 × 2 = 0 + 0,633 322 281 688 372 976 025 6;
  • 25) 0,633 322 281 688 372 976 025 6 × 2 = 1 + 0,266 644 563 376 745 952 051 2;
  • 26) 0,266 644 563 376 745 952 051 2 × 2 = 0 + 0,533 289 126 753 491 904 102 4;
  • 27) 0,533 289 126 753 491 904 102 4 × 2 = 1 + 0,066 578 253 506 983 808 204 8;
  • 28) 0,066 578 253 506 983 808 204 8 × 2 = 0 + 0,133 156 507 013 967 616 409 6;
  • 29) 0,133 156 507 013 967 616 409 6 × 2 = 0 + 0,266 313 014 027 935 232 819 2;
  • 30) 0,266 313 014 027 935 232 819 2 × 2 = 0 + 0,532 626 028 055 870 465 638 4;
  • 31) 0,532 626 028 055 870 465 638 4 × 2 = 1 + 0,065 252 056 111 740 931 276 8;
  • 32) 0,065 252 056 111 740 931 276 8 × 2 = 0 + 0,130 504 112 223 481 862 553 6;
  • 33) 0,130 504 112 223 481 862 553 6 × 2 = 0 + 0,261 008 224 446 963 725 107 2;
  • 34) 0,261 008 224 446 963 725 107 2 × 2 = 0 + 0,522 016 448 893 927 450 214 4;
  • 35) 0,522 016 448 893 927 450 214 4 × 2 = 1 + 0,044 032 897 787 854 900 428 8;
  • 36) 0,044 032 897 787 854 900 428 8 × 2 = 0 + 0,088 065 795 575 709 800 857 6;
  • 37) 0,088 065 795 575 709 800 857 6 × 2 = 0 + 0,176 131 591 151 419 601 715 2;
  • 38) 0,176 131 591 151 419 601 715 2 × 2 = 0 + 0,352 263 182 302 839 203 430 4;
  • 39) 0,352 263 182 302 839 203 430 4 × 2 = 0 + 0,704 526 364 605 678 406 860 8;
  • 40) 0,704 526 364 605 678 406 860 8 × 2 = 1 + 0,409 052 729 211 356 813 721 6;
  • 41) 0,409 052 729 211 356 813 721 6 × 2 = 0 + 0,818 105 458 422 713 627 443 2;
  • 42) 0,818 105 458 422 713 627 443 2 × 2 = 1 + 0,636 210 916 845 427 254 886 4;
  • 43) 0,636 210 916 845 427 254 886 4 × 2 = 1 + 0,272 421 833 690 854 509 772 8;
  • 44) 0,272 421 833 690 854 509 772 8 × 2 = 0 + 0,544 843 667 381 709 019 545 6;
  • 45) 0,544 843 667 381 709 019 545 6 × 2 = 1 + 0,089 687 334 763 418 039 091 2;
  • 46) 0,089 687 334 763 418 039 091 2 × 2 = 0 + 0,179 374 669 526 836 078 182 4;
  • 47) 0,179 374 669 526 836 078 182 4 × 2 = 0 + 0,358 749 339 053 672 156 364 8;
  • 48) 0,358 749 339 053 672 156 364 8 × 2 = 0 + 0,717 498 678 107 344 312 729 6;
  • 49) 0,717 498 678 107 344 312 729 6 × 2 = 1 + 0,434 997 356 214 688 625 459 2;
  • 50) 0,434 997 356 214 688 625 459 2 × 2 = 0 + 0,869 994 712 429 377 250 918 4;
  • 51) 0,869 994 712 429 377 250 918 4 × 2 = 1 + 0,739 989 424 858 754 501 836 8;
  • 52) 0,739 989 424 858 754 501 836 8 × 2 = 1 + 0,479 978 849 717 509 003 673 6;
  • 53) 0,479 978 849 717 509 003 673 6 × 2 = 0 + 0,959 957 699 435 018 007 347 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,785 398 163 397 448 163 531 6(10) =

0,1100 1001 0000 1111 1101 1010 1010 0010 0010 0001 0110 1000 1011 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,785 398 163 397 448 163 531 6(10) =

0,1100 1001 0000 1111 1101 1010 1010 0010 0010 0001 0110 1000 1011 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,785 398 163 397 448 163 531 6(10) =

0,1100 1001 0000 1111 1101 1010 1010 0010 0010 0001 0110 1000 1011 0(2) =

0,1100 1001 0000 1111 1101 1010 1010 0010 0010 0001 0110 1000 1011 0(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0110(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0110 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0110


Numărul zecimal 0,785 398 163 397 448 163 531 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0110

Distribuie

» Scriere 0,785 398 163 397 448 163 527 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100