0,785 398 163 397 448 163 638 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,785 398 163 397 448 163 638(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,785 398 163 397 448 163 638(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,785 398 163 397 448 163 638.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,785 398 163 397 448 163 638 × 2 = 1 + 0,570 796 326 794 896 327 276;
  • 2) 0,570 796 326 794 896 327 276 × 2 = 1 + 0,141 592 653 589 792 654 552;
  • 3) 0,141 592 653 589 792 654 552 × 2 = 0 + 0,283 185 307 179 585 309 104;
  • 4) 0,283 185 307 179 585 309 104 × 2 = 0 + 0,566 370 614 359 170 618 208;
  • 5) 0,566 370 614 359 170 618 208 × 2 = 1 + 0,132 741 228 718 341 236 416;
  • 6) 0,132 741 228 718 341 236 416 × 2 = 0 + 0,265 482 457 436 682 472 832;
  • 7) 0,265 482 457 436 682 472 832 × 2 = 0 + 0,530 964 914 873 364 945 664;
  • 8) 0,530 964 914 873 364 945 664 × 2 = 1 + 0,061 929 829 746 729 891 328;
  • 9) 0,061 929 829 746 729 891 328 × 2 = 0 + 0,123 859 659 493 459 782 656;
  • 10) 0,123 859 659 493 459 782 656 × 2 = 0 + 0,247 719 318 986 919 565 312;
  • 11) 0,247 719 318 986 919 565 312 × 2 = 0 + 0,495 438 637 973 839 130 624;
  • 12) 0,495 438 637 973 839 130 624 × 2 = 0 + 0,990 877 275 947 678 261 248;
  • 13) 0,990 877 275 947 678 261 248 × 2 = 1 + 0,981 754 551 895 356 522 496;
  • 14) 0,981 754 551 895 356 522 496 × 2 = 1 + 0,963 509 103 790 713 044 992;
  • 15) 0,963 509 103 790 713 044 992 × 2 = 1 + 0,927 018 207 581 426 089 984;
  • 16) 0,927 018 207 581 426 089 984 × 2 = 1 + 0,854 036 415 162 852 179 968;
  • 17) 0,854 036 415 162 852 179 968 × 2 = 1 + 0,708 072 830 325 704 359 936;
  • 18) 0,708 072 830 325 704 359 936 × 2 = 1 + 0,416 145 660 651 408 719 872;
  • 19) 0,416 145 660 651 408 719 872 × 2 = 0 + 0,832 291 321 302 817 439 744;
  • 20) 0,832 291 321 302 817 439 744 × 2 = 1 + 0,664 582 642 605 634 879 488;
  • 21) 0,664 582 642 605 634 879 488 × 2 = 1 + 0,329 165 285 211 269 758 976;
  • 22) 0,329 165 285 211 269 758 976 × 2 = 0 + 0,658 330 570 422 539 517 952;
  • 23) 0,658 330 570 422 539 517 952 × 2 = 1 + 0,316 661 140 845 079 035 904;
  • 24) 0,316 661 140 845 079 035 904 × 2 = 0 + 0,633 322 281 690 158 071 808;
  • 25) 0,633 322 281 690 158 071 808 × 2 = 1 + 0,266 644 563 380 316 143 616;
  • 26) 0,266 644 563 380 316 143 616 × 2 = 0 + 0,533 289 126 760 632 287 232;
  • 27) 0,533 289 126 760 632 287 232 × 2 = 1 + 0,066 578 253 521 264 574 464;
  • 28) 0,066 578 253 521 264 574 464 × 2 = 0 + 0,133 156 507 042 529 148 928;
  • 29) 0,133 156 507 042 529 148 928 × 2 = 0 + 0,266 313 014 085 058 297 856;
  • 30) 0,266 313 014 085 058 297 856 × 2 = 0 + 0,532 626 028 170 116 595 712;
  • 31) 0,532 626 028 170 116 595 712 × 2 = 1 + 0,065 252 056 340 233 191 424;
  • 32) 0,065 252 056 340 233 191 424 × 2 = 0 + 0,130 504 112 680 466 382 848;
  • 33) 0,130 504 112 680 466 382 848 × 2 = 0 + 0,261 008 225 360 932 765 696;
  • 34) 0,261 008 225 360 932 765 696 × 2 = 0 + 0,522 016 450 721 865 531 392;
  • 35) 0,522 016 450 721 865 531 392 × 2 = 1 + 0,044 032 901 443 731 062 784;
  • 36) 0,044 032 901 443 731 062 784 × 2 = 0 + 0,088 065 802 887 462 125 568;
  • 37) 0,088 065 802 887 462 125 568 × 2 = 0 + 0,176 131 605 774 924 251 136;
  • 38) 0,176 131 605 774 924 251 136 × 2 = 0 + 0,352 263 211 549 848 502 272;
  • 39) 0,352 263 211 549 848 502 272 × 2 = 0 + 0,704 526 423 099 697 004 544;
  • 40) 0,704 526 423 099 697 004 544 × 2 = 1 + 0,409 052 846 199 394 009 088;
  • 41) 0,409 052 846 199 394 009 088 × 2 = 0 + 0,818 105 692 398 788 018 176;
  • 42) 0,818 105 692 398 788 018 176 × 2 = 1 + 0,636 211 384 797 576 036 352;
  • 43) 0,636 211 384 797 576 036 352 × 2 = 1 + 0,272 422 769 595 152 072 704;
  • 44) 0,272 422 769 595 152 072 704 × 2 = 0 + 0,544 845 539 190 304 145 408;
  • 45) 0,544 845 539 190 304 145 408 × 2 = 1 + 0,089 691 078 380 608 290 816;
  • 46) 0,089 691 078 380 608 290 816 × 2 = 0 + 0,179 382 156 761 216 581 632;
  • 47) 0,179 382 156 761 216 581 632 × 2 = 0 + 0,358 764 313 522 433 163 264;
  • 48) 0,358 764 313 522 433 163 264 × 2 = 0 + 0,717 528 627 044 866 326 528;
  • 49) 0,717 528 627 044 866 326 528 × 2 = 1 + 0,435 057 254 089 732 653 056;
  • 50) 0,435 057 254 089 732 653 056 × 2 = 0 + 0,870 114 508 179 465 306 112;
  • 51) 0,870 114 508 179 465 306 112 × 2 = 1 + 0,740 229 016 358 930 612 224;
  • 52) 0,740 229 016 358 930 612 224 × 2 = 1 + 0,480 458 032 717 861 224 448;
  • 53) 0,480 458 032 717 861 224 448 × 2 = 0 + 0,960 916 065 435 722 448 896;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,785 398 163 397 448 163 638(10) =

0,1100 1001 0000 1111 1101 1010 1010 0010 0010 0001 0110 1000 1011 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,785 398 163 397 448 163 638(10) =

0,1100 1001 0000 1111 1101 1010 1010 0010 0010 0001 0110 1000 1011 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,785 398 163 397 448 163 638(10) =

0,1100 1001 0000 1111 1101 1010 1010 0010 0010 0001 0110 1000 1011 0(2) =

0,1100 1001 0000 1111 1101 1010 1010 0010 0010 0001 0110 1000 1011 0(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0110(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0110 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0110


Numărul zecimal 0,785 398 163 397 448 163 638 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0110

» Scriere 0,785 398 163 397 448 163 538 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100