0,785 398 163 458 219 169 012 83 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,785 398 163 458 219 169 012 83(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,785 398 163 458 219 169 012 83(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,785 398 163 458 219 169 012 83.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,785 398 163 458 219 169 012 83 × 2 = 1 + 0,570 796 326 916 438 338 025 66;
  • 2) 0,570 796 326 916 438 338 025 66 × 2 = 1 + 0,141 592 653 832 876 676 051 32;
  • 3) 0,141 592 653 832 876 676 051 32 × 2 = 0 + 0,283 185 307 665 753 352 102 64;
  • 4) 0,283 185 307 665 753 352 102 64 × 2 = 0 + 0,566 370 615 331 506 704 205 28;
  • 5) 0,566 370 615 331 506 704 205 28 × 2 = 1 + 0,132 741 230 663 013 408 410 56;
  • 6) 0,132 741 230 663 013 408 410 56 × 2 = 0 + 0,265 482 461 326 026 816 821 12;
  • 7) 0,265 482 461 326 026 816 821 12 × 2 = 0 + 0,530 964 922 652 053 633 642 24;
  • 8) 0,530 964 922 652 053 633 642 24 × 2 = 1 + 0,061 929 845 304 107 267 284 48;
  • 9) 0,061 929 845 304 107 267 284 48 × 2 = 0 + 0,123 859 690 608 214 534 568 96;
  • 10) 0,123 859 690 608 214 534 568 96 × 2 = 0 + 0,247 719 381 216 429 069 137 92;
  • 11) 0,247 719 381 216 429 069 137 92 × 2 = 0 + 0,495 438 762 432 858 138 275 84;
  • 12) 0,495 438 762 432 858 138 275 84 × 2 = 0 + 0,990 877 524 865 716 276 551 68;
  • 13) 0,990 877 524 865 716 276 551 68 × 2 = 1 + 0,981 755 049 731 432 553 103 36;
  • 14) 0,981 755 049 731 432 553 103 36 × 2 = 1 + 0,963 510 099 462 865 106 206 72;
  • 15) 0,963 510 099 462 865 106 206 72 × 2 = 1 + 0,927 020 198 925 730 212 413 44;
  • 16) 0,927 020 198 925 730 212 413 44 × 2 = 1 + 0,854 040 397 851 460 424 826 88;
  • 17) 0,854 040 397 851 460 424 826 88 × 2 = 1 + 0,708 080 795 702 920 849 653 76;
  • 18) 0,708 080 795 702 920 849 653 76 × 2 = 1 + 0,416 161 591 405 841 699 307 52;
  • 19) 0,416 161 591 405 841 699 307 52 × 2 = 0 + 0,832 323 182 811 683 398 615 04;
  • 20) 0,832 323 182 811 683 398 615 04 × 2 = 1 + 0,664 646 365 623 366 797 230 08;
  • 21) 0,664 646 365 623 366 797 230 08 × 2 = 1 + 0,329 292 731 246 733 594 460 16;
  • 22) 0,329 292 731 246 733 594 460 16 × 2 = 0 + 0,658 585 462 493 467 188 920 32;
  • 23) 0,658 585 462 493 467 188 920 32 × 2 = 1 + 0,317 170 924 986 934 377 840 64;
  • 24) 0,317 170 924 986 934 377 840 64 × 2 = 0 + 0,634 341 849 973 868 755 681 28;
  • 25) 0,634 341 849 973 868 755 681 28 × 2 = 1 + 0,268 683 699 947 737 511 362 56;
  • 26) 0,268 683 699 947 737 511 362 56 × 2 = 0 + 0,537 367 399 895 475 022 725 12;
  • 27) 0,537 367 399 895 475 022 725 12 × 2 = 1 + 0,074 734 799 790 950 045 450 24;
  • 28) 0,074 734 799 790 950 045 450 24 × 2 = 0 + 0,149 469 599 581 900 090 900 48;
  • 29) 0,149 469 599 581 900 090 900 48 × 2 = 0 + 0,298 939 199 163 800 181 800 96;
  • 30) 0,298 939 199 163 800 181 800 96 × 2 = 0 + 0,597 878 398 327 600 363 601 92;
  • 31) 0,597 878 398 327 600 363 601 92 × 2 = 1 + 0,195 756 796 655 200 727 203 84;
  • 32) 0,195 756 796 655 200 727 203 84 × 2 = 0 + 0,391 513 593 310 401 454 407 68;
  • 33) 0,391 513 593 310 401 454 407 68 × 2 = 0 + 0,783 027 186 620 802 908 815 36;
  • 34) 0,783 027 186 620 802 908 815 36 × 2 = 1 + 0,566 054 373 241 605 817 630 72;
  • 35) 0,566 054 373 241 605 817 630 72 × 2 = 1 + 0,132 108 746 483 211 635 261 44;
  • 36) 0,132 108 746 483 211 635 261 44 × 2 = 0 + 0,264 217 492 966 423 270 522 88;
  • 37) 0,264 217 492 966 423 270 522 88 × 2 = 0 + 0,528 434 985 932 846 541 045 76;
  • 38) 0,528 434 985 932 846 541 045 76 × 2 = 1 + 0,056 869 971 865 693 082 091 52;
  • 39) 0,056 869 971 865 693 082 091 52 × 2 = 0 + 0,113 739 943 731 386 164 183 04;
  • 40) 0,113 739 943 731 386 164 183 04 × 2 = 0 + 0,227 479 887 462 772 328 366 08;
  • 41) 0,227 479 887 462 772 328 366 08 × 2 = 0 + 0,454 959 774 925 544 656 732 16;
  • 42) 0,454 959 774 925 544 656 732 16 × 2 = 0 + 0,909 919 549 851 089 313 464 32;
  • 43) 0,909 919 549 851 089 313 464 32 × 2 = 1 + 0,819 839 099 702 178 626 928 64;
  • 44) 0,819 839 099 702 178 626 928 64 × 2 = 1 + 0,639 678 199 404 357 253 857 28;
  • 45) 0,639 678 199 404 357 253 857 28 × 2 = 1 + 0,279 356 398 808 714 507 714 56;
  • 46) 0,279 356 398 808 714 507 714 56 × 2 = 0 + 0,558 712 797 617 429 015 429 12;
  • 47) 0,558 712 797 617 429 015 429 12 × 2 = 1 + 0,117 425 595 234 858 030 858 24;
  • 48) 0,117 425 595 234 858 030 858 24 × 2 = 0 + 0,234 851 190 469 716 061 716 48;
  • 49) 0,234 851 190 469 716 061 716 48 × 2 = 0 + 0,469 702 380 939 432 123 432 96;
  • 50) 0,469 702 380 939 432 123 432 96 × 2 = 0 + 0,939 404 761 878 864 246 865 92;
  • 51) 0,939 404 761 878 864 246 865 92 × 2 = 1 + 0,878 809 523 757 728 493 731 84;
  • 52) 0,878 809 523 757 728 493 731 84 × 2 = 1 + 0,757 619 047 515 456 987 463 68;
  • 53) 0,757 619 047 515 456 987 463 68 × 2 = 1 + 0,515 238 095 030 913 974 927 36;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,785 398 163 458 219 169 012 83(10) =

0,1100 1001 0000 1111 1101 1010 1010 0010 0110 0100 0011 1010 0011 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,785 398 163 458 219 169 012 83(10) =

0,1100 1001 0000 1111 1101 1010 1010 0010 0110 0100 0011 1010 0011 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,785 398 163 458 219 169 012 83(10) =

0,1100 1001 0000 1111 1101 1010 1010 0010 0110 0100 0011 1010 0011 1(2) =

0,1100 1001 0000 1111 1101 1010 1010 0010 0110 0100 0011 1010 0011 1(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 1100 1000 0111 0100 0111(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 1100 1000 0111 0100 0111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 1100 1000 0111 0100 0111 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 1100 1000 0111 0100 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 1100 1000 0111 0100 0111


Numărul zecimal 0,785 398 163 458 219 169 012 83 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 1100 1000 0111 0100 0111

Distribuie

» Scriere 0,785 398 163 458 219 169 012 77 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100