0,785 430 024 824 850 447 721 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,785 430 024 824 850 447 721(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,785 430 024 824 850 447 721(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,785 430 024 824 850 447 721.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,785 430 024 824 850 447 721 × 2 = 1 + 0,570 860 049 649 700 895 442;
  • 2) 0,570 860 049 649 700 895 442 × 2 = 1 + 0,141 720 099 299 401 790 884;
  • 3) 0,141 720 099 299 401 790 884 × 2 = 0 + 0,283 440 198 598 803 581 768;
  • 4) 0,283 440 198 598 803 581 768 × 2 = 0 + 0,566 880 397 197 607 163 536;
  • 5) 0,566 880 397 197 607 163 536 × 2 = 1 + 0,133 760 794 395 214 327 072;
  • 6) 0,133 760 794 395 214 327 072 × 2 = 0 + 0,267 521 588 790 428 654 144;
  • 7) 0,267 521 588 790 428 654 144 × 2 = 0 + 0,535 043 177 580 857 308 288;
  • 8) 0,535 043 177 580 857 308 288 × 2 = 1 + 0,070 086 355 161 714 616 576;
  • 9) 0,070 086 355 161 714 616 576 × 2 = 0 + 0,140 172 710 323 429 233 152;
  • 10) 0,140 172 710 323 429 233 152 × 2 = 0 + 0,280 345 420 646 858 466 304;
  • 11) 0,280 345 420 646 858 466 304 × 2 = 0 + 0,560 690 841 293 716 932 608;
  • 12) 0,560 690 841 293 716 932 608 × 2 = 1 + 0,121 381 682 587 433 865 216;
  • 13) 0,121 381 682 587 433 865 216 × 2 = 0 + 0,242 763 365 174 867 730 432;
  • 14) 0,242 763 365 174 867 730 432 × 2 = 0 + 0,485 526 730 349 735 460 864;
  • 15) 0,485 526 730 349 735 460 864 × 2 = 0 + 0,971 053 460 699 470 921 728;
  • 16) 0,971 053 460 699 470 921 728 × 2 = 1 + 0,942 106 921 398 941 843 456;
  • 17) 0,942 106 921 398 941 843 456 × 2 = 1 + 0,884 213 842 797 883 686 912;
  • 18) 0,884 213 842 797 883 686 912 × 2 = 1 + 0,768 427 685 595 767 373 824;
  • 19) 0,768 427 685 595 767 373 824 × 2 = 1 + 0,536 855 371 191 534 747 648;
  • 20) 0,536 855 371 191 534 747 648 × 2 = 1 + 0,073 710 742 383 069 495 296;
  • 21) 0,073 710 742 383 069 495 296 × 2 = 0 + 0,147 421 484 766 138 990 592;
  • 22) 0,147 421 484 766 138 990 592 × 2 = 0 + 0,294 842 969 532 277 981 184;
  • 23) 0,294 842 969 532 277 981 184 × 2 = 0 + 0,589 685 939 064 555 962 368;
  • 24) 0,589 685 939 064 555 962 368 × 2 = 1 + 0,179 371 878 129 111 924 736;
  • 25) 0,179 371 878 129 111 924 736 × 2 = 0 + 0,358 743 756 258 223 849 472;
  • 26) 0,358 743 756 258 223 849 472 × 2 = 0 + 0,717 487 512 516 447 698 944;
  • 27) 0,717 487 512 516 447 698 944 × 2 = 1 + 0,434 975 025 032 895 397 888;
  • 28) 0,434 975 025 032 895 397 888 × 2 = 0 + 0,869 950 050 065 790 795 776;
  • 29) 0,869 950 050 065 790 795 776 × 2 = 1 + 0,739 900 100 131 581 591 552;
  • 30) 0,739 900 100 131 581 591 552 × 2 = 1 + 0,479 800 200 263 163 183 104;
  • 31) 0,479 800 200 263 163 183 104 × 2 = 0 + 0,959 600 400 526 326 366 208;
  • 32) 0,959 600 400 526 326 366 208 × 2 = 1 + 0,919 200 801 052 652 732 416;
  • 33) 0,919 200 801 052 652 732 416 × 2 = 1 + 0,838 401 602 105 305 464 832;
  • 34) 0,838 401 602 105 305 464 832 × 2 = 1 + 0,676 803 204 210 610 929 664;
  • 35) 0,676 803 204 210 610 929 664 × 2 = 1 + 0,353 606 408 421 221 859 328;
  • 36) 0,353 606 408 421 221 859 328 × 2 = 0 + 0,707 212 816 842 443 718 656;
  • 37) 0,707 212 816 842 443 718 656 × 2 = 1 + 0,414 425 633 684 887 437 312;
  • 38) 0,414 425 633 684 887 437 312 × 2 = 0 + 0,828 851 267 369 774 874 624;
  • 39) 0,828 851 267 369 774 874 624 × 2 = 1 + 0,657 702 534 739 549 749 248;
  • 40) 0,657 702 534 739 549 749 248 × 2 = 1 + 0,315 405 069 479 099 498 496;
  • 41) 0,315 405 069 479 099 498 496 × 2 = 0 + 0,630 810 138 958 198 996 992;
  • 42) 0,630 810 138 958 198 996 992 × 2 = 1 + 0,261 620 277 916 397 993 984;
  • 43) 0,261 620 277 916 397 993 984 × 2 = 0 + 0,523 240 555 832 795 987 968;
  • 44) 0,523 240 555 832 795 987 968 × 2 = 1 + 0,046 481 111 665 591 975 936;
  • 45) 0,046 481 111 665 591 975 936 × 2 = 0 + 0,092 962 223 331 183 951 872;
  • 46) 0,092 962 223 331 183 951 872 × 2 = 0 + 0,185 924 446 662 367 903 744;
  • 47) 0,185 924 446 662 367 903 744 × 2 = 0 + 0,371 848 893 324 735 807 488;
  • 48) 0,371 848 893 324 735 807 488 × 2 = 0 + 0,743 697 786 649 471 614 976;
  • 49) 0,743 697 786 649 471 614 976 × 2 = 1 + 0,487 395 573 298 943 229 952;
  • 50) 0,487 395 573 298 943 229 952 × 2 = 0 + 0,974 791 146 597 886 459 904;
  • 51) 0,974 791 146 597 886 459 904 × 2 = 1 + 0,949 582 293 195 772 919 808;
  • 52) 0,949 582 293 195 772 919 808 × 2 = 1 + 0,899 164 586 391 545 839 616;
  • 53) 0,899 164 586 391 545 839 616 × 2 = 1 + 0,798 329 172 783 091 679 232;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,785 430 024 824 850 447 721(10) =

0,1100 1001 0001 0001 1111 0001 0010 1101 1110 1011 0101 0000 1011 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,785 430 024 824 850 447 721(10) =

0,1100 1001 0001 0001 1111 0001 0010 1101 1110 1011 0101 0000 1011 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,785 430 024 824 850 447 721(10) =

0,1100 1001 0001 0001 1111 0001 0010 1101 1110 1011 0101 0000 1011 1(2) =

0,1100 1001 0001 0001 1111 0001 0010 1101 1110 1011 0101 0000 1011 1(2) × 20 =

1,1001 0010 0010 0011 1110 0010 0101 1011 1101 0110 1010 0001 0111(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0010 0011 1110 0010 0101 1011 1101 0110 1010 0001 0111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0010 0011 1110 0010 0101 1011 1101 0110 1010 0001 0111 =

1001 0010 0010 0011 1110 0010 0101 1011 1101 0110 1010 0001 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0010 0011 1110 0010 0101 1011 1101 0110 1010 0001 0111


Numărul zecimal 0,785 430 024 824 850 447 721 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1001 0010 0010 0011 1110 0010 0101 1011 1101 0110 1010 0001 0111

Distribuie

» Scriere 0,785 430 024 824 850 447 63 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100