0,785 430 024 824 850 447 804 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,785 430 024 824 850 447 804(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,785 430 024 824 850 447 804(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,785 430 024 824 850 447 804.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,785 430 024 824 850 447 804 × 2 = 1 + 0,570 860 049 649 700 895 608;
  • 2) 0,570 860 049 649 700 895 608 × 2 = 1 + 0,141 720 099 299 401 791 216;
  • 3) 0,141 720 099 299 401 791 216 × 2 = 0 + 0,283 440 198 598 803 582 432;
  • 4) 0,283 440 198 598 803 582 432 × 2 = 0 + 0,566 880 397 197 607 164 864;
  • 5) 0,566 880 397 197 607 164 864 × 2 = 1 + 0,133 760 794 395 214 329 728;
  • 6) 0,133 760 794 395 214 329 728 × 2 = 0 + 0,267 521 588 790 428 659 456;
  • 7) 0,267 521 588 790 428 659 456 × 2 = 0 + 0,535 043 177 580 857 318 912;
  • 8) 0,535 043 177 580 857 318 912 × 2 = 1 + 0,070 086 355 161 714 637 824;
  • 9) 0,070 086 355 161 714 637 824 × 2 = 0 + 0,140 172 710 323 429 275 648;
  • 10) 0,140 172 710 323 429 275 648 × 2 = 0 + 0,280 345 420 646 858 551 296;
  • 11) 0,280 345 420 646 858 551 296 × 2 = 0 + 0,560 690 841 293 717 102 592;
  • 12) 0,560 690 841 293 717 102 592 × 2 = 1 + 0,121 381 682 587 434 205 184;
  • 13) 0,121 381 682 587 434 205 184 × 2 = 0 + 0,242 763 365 174 868 410 368;
  • 14) 0,242 763 365 174 868 410 368 × 2 = 0 + 0,485 526 730 349 736 820 736;
  • 15) 0,485 526 730 349 736 820 736 × 2 = 0 + 0,971 053 460 699 473 641 472;
  • 16) 0,971 053 460 699 473 641 472 × 2 = 1 + 0,942 106 921 398 947 282 944;
  • 17) 0,942 106 921 398 947 282 944 × 2 = 1 + 0,884 213 842 797 894 565 888;
  • 18) 0,884 213 842 797 894 565 888 × 2 = 1 + 0,768 427 685 595 789 131 776;
  • 19) 0,768 427 685 595 789 131 776 × 2 = 1 + 0,536 855 371 191 578 263 552;
  • 20) 0,536 855 371 191 578 263 552 × 2 = 1 + 0,073 710 742 383 156 527 104;
  • 21) 0,073 710 742 383 156 527 104 × 2 = 0 + 0,147 421 484 766 313 054 208;
  • 22) 0,147 421 484 766 313 054 208 × 2 = 0 + 0,294 842 969 532 626 108 416;
  • 23) 0,294 842 969 532 626 108 416 × 2 = 0 + 0,589 685 939 065 252 216 832;
  • 24) 0,589 685 939 065 252 216 832 × 2 = 1 + 0,179 371 878 130 504 433 664;
  • 25) 0,179 371 878 130 504 433 664 × 2 = 0 + 0,358 743 756 261 008 867 328;
  • 26) 0,358 743 756 261 008 867 328 × 2 = 0 + 0,717 487 512 522 017 734 656;
  • 27) 0,717 487 512 522 017 734 656 × 2 = 1 + 0,434 975 025 044 035 469 312;
  • 28) 0,434 975 025 044 035 469 312 × 2 = 0 + 0,869 950 050 088 070 938 624;
  • 29) 0,869 950 050 088 070 938 624 × 2 = 1 + 0,739 900 100 176 141 877 248;
  • 30) 0,739 900 100 176 141 877 248 × 2 = 1 + 0,479 800 200 352 283 754 496;
  • 31) 0,479 800 200 352 283 754 496 × 2 = 0 + 0,959 600 400 704 567 508 992;
  • 32) 0,959 600 400 704 567 508 992 × 2 = 1 + 0,919 200 801 409 135 017 984;
  • 33) 0,919 200 801 409 135 017 984 × 2 = 1 + 0,838 401 602 818 270 035 968;
  • 34) 0,838 401 602 818 270 035 968 × 2 = 1 + 0,676 803 205 636 540 071 936;
  • 35) 0,676 803 205 636 540 071 936 × 2 = 1 + 0,353 606 411 273 080 143 872;
  • 36) 0,353 606 411 273 080 143 872 × 2 = 0 + 0,707 212 822 546 160 287 744;
  • 37) 0,707 212 822 546 160 287 744 × 2 = 1 + 0,414 425 645 092 320 575 488;
  • 38) 0,414 425 645 092 320 575 488 × 2 = 0 + 0,828 851 290 184 641 150 976;
  • 39) 0,828 851 290 184 641 150 976 × 2 = 1 + 0,657 702 580 369 282 301 952;
  • 40) 0,657 702 580 369 282 301 952 × 2 = 1 + 0,315 405 160 738 564 603 904;
  • 41) 0,315 405 160 738 564 603 904 × 2 = 0 + 0,630 810 321 477 129 207 808;
  • 42) 0,630 810 321 477 129 207 808 × 2 = 1 + 0,261 620 642 954 258 415 616;
  • 43) 0,261 620 642 954 258 415 616 × 2 = 0 + 0,523 241 285 908 516 831 232;
  • 44) 0,523 241 285 908 516 831 232 × 2 = 1 + 0,046 482 571 817 033 662 464;
  • 45) 0,046 482 571 817 033 662 464 × 2 = 0 + 0,092 965 143 634 067 324 928;
  • 46) 0,092 965 143 634 067 324 928 × 2 = 0 + 0,185 930 287 268 134 649 856;
  • 47) 0,185 930 287 268 134 649 856 × 2 = 0 + 0,371 860 574 536 269 299 712;
  • 48) 0,371 860 574 536 269 299 712 × 2 = 0 + 0,743 721 149 072 538 599 424;
  • 49) 0,743 721 149 072 538 599 424 × 2 = 1 + 0,487 442 298 145 077 198 848;
  • 50) 0,487 442 298 145 077 198 848 × 2 = 0 + 0,974 884 596 290 154 397 696;
  • 51) 0,974 884 596 290 154 397 696 × 2 = 1 + 0,949 769 192 580 308 795 392;
  • 52) 0,949 769 192 580 308 795 392 × 2 = 1 + 0,899 538 385 160 617 590 784;
  • 53) 0,899 538 385 160 617 590 784 × 2 = 1 + 0,799 076 770 321 235 181 568;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,785 430 024 824 850 447 804(10) =

0,1100 1001 0001 0001 1111 0001 0010 1101 1110 1011 0101 0000 1011 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,785 430 024 824 850 447 804(10) =

0,1100 1001 0001 0001 1111 0001 0010 1101 1110 1011 0101 0000 1011 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,785 430 024 824 850 447 804(10) =

0,1100 1001 0001 0001 1111 0001 0010 1101 1110 1011 0101 0000 1011 1(2) =

0,1100 1001 0001 0001 1111 0001 0010 1101 1110 1011 0101 0000 1011 1(2) × 20 =

1,1001 0010 0010 0011 1110 0010 0101 1011 1101 0110 1010 0001 0111(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0010 0011 1110 0010 0101 1011 1101 0110 1010 0001 0111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0010 0011 1110 0010 0101 1011 1101 0110 1010 0001 0111 =

1001 0010 0010 0011 1110 0010 0101 1011 1101 0110 1010 0001 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0010 0011 1110 0010 0101 1011 1101 0110 1010 0001 0111


Numărul zecimal 0,785 430 024 824 850 447 804 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1001 0010 0010 0011 1110 0010 0101 1011 1101 0110 1010 0001 0111

Distribuie

» Scriere 0,785 430 024 824 850 447 716 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100