0,803 500 354 290 030 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,803 500 354 290 030 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,803 500 354 290 030 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,803 500 354 290 030 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,803 500 354 290 030 1 × 2 = 1 + 0,607 000 708 580 060 2;
  • 2) 0,607 000 708 580 060 2 × 2 = 1 + 0,214 001 417 160 120 4;
  • 3) 0,214 001 417 160 120 4 × 2 = 0 + 0,428 002 834 320 240 8;
  • 4) 0,428 002 834 320 240 8 × 2 = 0 + 0,856 005 668 640 481 6;
  • 5) 0,856 005 668 640 481 6 × 2 = 1 + 0,712 011 337 280 963 2;
  • 6) 0,712 011 337 280 963 2 × 2 = 1 + 0,424 022 674 561 926 4;
  • 7) 0,424 022 674 561 926 4 × 2 = 0 + 0,848 045 349 123 852 8;
  • 8) 0,848 045 349 123 852 8 × 2 = 1 + 0,696 090 698 247 705 6;
  • 9) 0,696 090 698 247 705 6 × 2 = 1 + 0,392 181 396 495 411 2;
  • 10) 0,392 181 396 495 411 2 × 2 = 0 + 0,784 362 792 990 822 4;
  • 11) 0,784 362 792 990 822 4 × 2 = 1 + 0,568 725 585 981 644 8;
  • 12) 0,568 725 585 981 644 8 × 2 = 1 + 0,137 451 171 963 289 6;
  • 13) 0,137 451 171 963 289 6 × 2 = 0 + 0,274 902 343 926 579 2;
  • 14) 0,274 902 343 926 579 2 × 2 = 0 + 0,549 804 687 853 158 4;
  • 15) 0,549 804 687 853 158 4 × 2 = 1 + 0,099 609 375 706 316 8;
  • 16) 0,099 609 375 706 316 8 × 2 = 0 + 0,199 218 751 412 633 6;
  • 17) 0,199 218 751 412 633 6 × 2 = 0 + 0,398 437 502 825 267 2;
  • 18) 0,398 437 502 825 267 2 × 2 = 0 + 0,796 875 005 650 534 4;
  • 19) 0,796 875 005 650 534 4 × 2 = 1 + 0,593 750 011 301 068 8;
  • 20) 0,593 750 011 301 068 8 × 2 = 1 + 0,187 500 022 602 137 6;
  • 21) 0,187 500 022 602 137 6 × 2 = 0 + 0,375 000 045 204 275 2;
  • 22) 0,375 000 045 204 275 2 × 2 = 0 + 0,750 000 090 408 550 4;
  • 23) 0,750 000 090 408 550 4 × 2 = 1 + 0,500 000 180 817 100 8;
  • 24) 0,500 000 180 817 100 8 × 2 = 1 + 0,000 000 361 634 201 6;
  • 25) 0,000 000 361 634 201 6 × 2 = 0 + 0,000 000 723 268 403 2;
  • 26) 0,000 000 723 268 403 2 × 2 = 0 + 0,000 001 446 536 806 4;
  • 27) 0,000 001 446 536 806 4 × 2 = 0 + 0,000 002 893 073 612 8;
  • 28) 0,000 002 893 073 612 8 × 2 = 0 + 0,000 005 786 147 225 6;
  • 29) 0,000 005 786 147 225 6 × 2 = 0 + 0,000 011 572 294 451 2;
  • 30) 0,000 011 572 294 451 2 × 2 = 0 + 0,000 023 144 588 902 4;
  • 31) 0,000 023 144 588 902 4 × 2 = 0 + 0,000 046 289 177 804 8;
  • 32) 0,000 046 289 177 804 8 × 2 = 0 + 0,000 092 578 355 609 6;
  • 33) 0,000 092 578 355 609 6 × 2 = 0 + 0,000 185 156 711 219 2;
  • 34) 0,000 185 156 711 219 2 × 2 = 0 + 0,000 370 313 422 438 4;
  • 35) 0,000 370 313 422 438 4 × 2 = 0 + 0,000 740 626 844 876 8;
  • 36) 0,000 740 626 844 876 8 × 2 = 0 + 0,001 481 253 689 753 6;
  • 37) 0,001 481 253 689 753 6 × 2 = 0 + 0,002 962 507 379 507 2;
  • 38) 0,002 962 507 379 507 2 × 2 = 0 + 0,005 925 014 759 014 4;
  • 39) 0,005 925 014 759 014 4 × 2 = 0 + 0,011 850 029 518 028 8;
  • 40) 0,011 850 029 518 028 8 × 2 = 0 + 0,023 700 059 036 057 6;
  • 41) 0,023 700 059 036 057 6 × 2 = 0 + 0,047 400 118 072 115 2;
  • 42) 0,047 400 118 072 115 2 × 2 = 0 + 0,094 800 236 144 230 4;
  • 43) 0,094 800 236 144 230 4 × 2 = 0 + 0,189 600 472 288 460 8;
  • 44) 0,189 600 472 288 460 8 × 2 = 0 + 0,379 200 944 576 921 6;
  • 45) 0,379 200 944 576 921 6 × 2 = 0 + 0,758 401 889 153 843 2;
  • 46) 0,758 401 889 153 843 2 × 2 = 1 + 0,516 803 778 307 686 4;
  • 47) 0,516 803 778 307 686 4 × 2 = 1 + 0,033 607 556 615 372 8;
  • 48) 0,033 607 556 615 372 8 × 2 = 0 + 0,067 215 113 230 745 6;
  • 49) 0,067 215 113 230 745 6 × 2 = 0 + 0,134 430 226 461 491 2;
  • 50) 0,134 430 226 461 491 2 × 2 = 0 + 0,268 860 452 922 982 4;
  • 51) 0,268 860 452 922 982 4 × 2 = 0 + 0,537 720 905 845 964 8;
  • 52) 0,537 720 905 845 964 8 × 2 = 1 + 0,075 441 811 691 929 6;
  • 53) 0,075 441 811 691 929 6 × 2 = 0 + 0,150 883 623 383 859 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,803 500 354 290 030 1(10) =

0,1100 1101 1011 0010 0011 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0110 0001 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,803 500 354 290 030 1(10) =

0,1100 1101 1011 0010 0011 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0110 0001 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,803 500 354 290 030 1(10) =

0,1100 1101 1011 0010 0011 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0110 0001 0(2) =

0,1100 1101 1011 0010 0011 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0110 0001 0(2) × 20 =

1,1001 1011 0110 0100 0110 0110 0000 0000 0000 0000 0000 1100 0010(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1011 0110 0100 0110 0110 0000 0000 0000 0000 0000 1100 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1011 0110 0100 0110 0110 0000 0000 0000 0000 0000 1100 0010 =

1001 1011 0110 0100 0110 0110 0000 0000 0000 0000 0000 1100 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1001 1011 0110 0100 0110 0110 0000 0000 0000 0000 0000 1100 0010


Numărul zecimal 0,803 500 354 290 030 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1001 1011 0110 0100 0110 0110 0000 0000 0000 0000 0000 1100 0010

Distribuie

» Scriere 0,803 500 354 290 027 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100