0,878 126 080 186 649 741 556 081 62 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,878 126 080 186 649 741 556 081 62(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,878 126 080 186 649 741 556 081 62(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,878 126 080 186 649 741 556 081 62.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,878 126 080 186 649 741 556 081 62 × 2 = 1 + 0,756 252 160 373 299 483 112 163 24;
  • 2) 0,756 252 160 373 299 483 112 163 24 × 2 = 1 + 0,512 504 320 746 598 966 224 326 48;
  • 3) 0,512 504 320 746 598 966 224 326 48 × 2 = 1 + 0,025 008 641 493 197 932 448 652 96;
  • 4) 0,025 008 641 493 197 932 448 652 96 × 2 = 0 + 0,050 017 282 986 395 864 897 305 92;
  • 5) 0,050 017 282 986 395 864 897 305 92 × 2 = 0 + 0,100 034 565 972 791 729 794 611 84;
  • 6) 0,100 034 565 972 791 729 794 611 84 × 2 = 0 + 0,200 069 131 945 583 459 589 223 68;
  • 7) 0,200 069 131 945 583 459 589 223 68 × 2 = 0 + 0,400 138 263 891 166 919 178 447 36;
  • 8) 0,400 138 263 891 166 919 178 447 36 × 2 = 0 + 0,800 276 527 782 333 838 356 894 72;
  • 9) 0,800 276 527 782 333 838 356 894 72 × 2 = 1 + 0,600 553 055 564 667 676 713 789 44;
  • 10) 0,600 553 055 564 667 676 713 789 44 × 2 = 1 + 0,201 106 111 129 335 353 427 578 88;
  • 11) 0,201 106 111 129 335 353 427 578 88 × 2 = 0 + 0,402 212 222 258 670 706 855 157 76;
  • 12) 0,402 212 222 258 670 706 855 157 76 × 2 = 0 + 0,804 424 444 517 341 413 710 315 52;
  • 13) 0,804 424 444 517 341 413 710 315 52 × 2 = 1 + 0,608 848 889 034 682 827 420 631 04;
  • 14) 0,608 848 889 034 682 827 420 631 04 × 2 = 1 + 0,217 697 778 069 365 654 841 262 08;
  • 15) 0,217 697 778 069 365 654 841 262 08 × 2 = 0 + 0,435 395 556 138 731 309 682 524 16;
  • 16) 0,435 395 556 138 731 309 682 524 16 × 2 = 0 + 0,870 791 112 277 462 619 365 048 32;
  • 17) 0,870 791 112 277 462 619 365 048 32 × 2 = 1 + 0,741 582 224 554 925 238 730 096 64;
  • 18) 0,741 582 224 554 925 238 730 096 64 × 2 = 1 + 0,483 164 449 109 850 477 460 193 28;
  • 19) 0,483 164 449 109 850 477 460 193 28 × 2 = 0 + 0,966 328 898 219 700 954 920 386 56;
  • 20) 0,966 328 898 219 700 954 920 386 56 × 2 = 1 + 0,932 657 796 439 401 909 840 773 12;
  • 21) 0,932 657 796 439 401 909 840 773 12 × 2 = 1 + 0,865 315 592 878 803 819 681 546 24;
  • 22) 0,865 315 592 878 803 819 681 546 24 × 2 = 1 + 0,730 631 185 757 607 639 363 092 48;
  • 23) 0,730 631 185 757 607 639 363 092 48 × 2 = 1 + 0,461 262 371 515 215 278 726 184 96;
  • 24) 0,461 262 371 515 215 278 726 184 96 × 2 = 0 + 0,922 524 743 030 430 557 452 369 92;
  • 25) 0,922 524 743 030 430 557 452 369 92 × 2 = 1 + 0,845 049 486 060 861 114 904 739 84;
  • 26) 0,845 049 486 060 861 114 904 739 84 × 2 = 1 + 0,690 098 972 121 722 229 809 479 68;
  • 27) 0,690 098 972 121 722 229 809 479 68 × 2 = 1 + 0,380 197 944 243 444 459 618 959 36;
  • 28) 0,380 197 944 243 444 459 618 959 36 × 2 = 0 + 0,760 395 888 486 888 919 237 918 72;
  • 29) 0,760 395 888 486 888 919 237 918 72 × 2 = 1 + 0,520 791 776 973 777 838 475 837 44;
  • 30) 0,520 791 776 973 777 838 475 837 44 × 2 = 1 + 0,041 583 553 947 555 676 951 674 88;
  • 31) 0,041 583 553 947 555 676 951 674 88 × 2 = 0 + 0,083 167 107 895 111 353 903 349 76;
  • 32) 0,083 167 107 895 111 353 903 349 76 × 2 = 0 + 0,166 334 215 790 222 707 806 699 52;
  • 33) 0,166 334 215 790 222 707 806 699 52 × 2 = 0 + 0,332 668 431 580 445 415 613 399 04;
  • 34) 0,332 668 431 580 445 415 613 399 04 × 2 = 0 + 0,665 336 863 160 890 831 226 798 08;
  • 35) 0,665 336 863 160 890 831 226 798 08 × 2 = 1 + 0,330 673 726 321 781 662 453 596 16;
  • 36) 0,330 673 726 321 781 662 453 596 16 × 2 = 0 + 0,661 347 452 643 563 324 907 192 32;
  • 37) 0,661 347 452 643 563 324 907 192 32 × 2 = 1 + 0,322 694 905 287 126 649 814 384 64;
  • 38) 0,322 694 905 287 126 649 814 384 64 × 2 = 0 + 0,645 389 810 574 253 299 628 769 28;
  • 39) 0,645 389 810 574 253 299 628 769 28 × 2 = 1 + 0,290 779 621 148 506 599 257 538 56;
  • 40) 0,290 779 621 148 506 599 257 538 56 × 2 = 0 + 0,581 559 242 297 013 198 515 077 12;
  • 41) 0,581 559 242 297 013 198 515 077 12 × 2 = 1 + 0,163 118 484 594 026 397 030 154 24;
  • 42) 0,163 118 484 594 026 397 030 154 24 × 2 = 0 + 0,326 236 969 188 052 794 060 308 48;
  • 43) 0,326 236 969 188 052 794 060 308 48 × 2 = 0 + 0,652 473 938 376 105 588 120 616 96;
  • 44) 0,652 473 938 376 105 588 120 616 96 × 2 = 1 + 0,304 947 876 752 211 176 241 233 92;
  • 45) 0,304 947 876 752 211 176 241 233 92 × 2 = 0 + 0,609 895 753 504 422 352 482 467 84;
  • 46) 0,609 895 753 504 422 352 482 467 84 × 2 = 1 + 0,219 791 507 008 844 704 964 935 68;
  • 47) 0,219 791 507 008 844 704 964 935 68 × 2 = 0 + 0,439 583 014 017 689 409 929 871 36;
  • 48) 0,439 583 014 017 689 409 929 871 36 × 2 = 0 + 0,879 166 028 035 378 819 859 742 72;
  • 49) 0,879 166 028 035 378 819 859 742 72 × 2 = 1 + 0,758 332 056 070 757 639 719 485 44;
  • 50) 0,758 332 056 070 757 639 719 485 44 × 2 = 1 + 0,516 664 112 141 515 279 438 970 88;
  • 51) 0,516 664 112 141 515 279 438 970 88 × 2 = 1 + 0,033 328 224 283 030 558 877 941 76;
  • 52) 0,033 328 224 283 030 558 877 941 76 × 2 = 0 + 0,066 656 448 566 061 117 755 883 52;
  • 53) 0,066 656 448 566 061 117 755 883 52 × 2 = 0 + 0,133 312 897 132 122 235 511 767 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,878 126 080 186 649 741 556 081 62(10) =

0,1110 0000 1100 1100 1101 1110 1110 1100 0010 1010 1001 0100 1110 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,878 126 080 186 649 741 556 081 62(10) =

0,1110 0000 1100 1100 1101 1110 1110 1100 0010 1010 1001 0100 1110 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,878 126 080 186 649 741 556 081 62(10) =

0,1110 0000 1100 1100 1101 1110 1110 1100 0010 1010 1001 0100 1110 0(2) =

0,1110 0000 1100 1100 1101 1110 1110 1100 0010 1010 1001 0100 1110 0(2) × 20 =

1,1100 0001 1001 1001 1011 1101 1101 1000 0101 0101 0010 1001 1100(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1100 0001 1001 1001 1011 1101 1101 1000 0101 0101 0010 1001 1100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1100 0001 1001 1001 1011 1101 1101 1000 0101 0101 0010 1001 1100 =

1100 0001 1001 1001 1011 1101 1101 1000 0101 0101 0010 1001 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1100 0001 1001 1001 1011 1101 1101 1000 0101 0101 0010 1001 1100


Numărul zecimal 0,878 126 080 186 649 741 556 081 62 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1100 0001 1001 1001 1011 1101 1101 1000 0101 0101 0010 1001 1100

» Scriere 0,878 126 080 186 649 741 556 081 69 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100