0,901 960 999 999 999 37 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,901 960 999 999 999 37(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,901 960 999 999 999 37(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,901 960 999 999 999 37.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,901 960 999 999 999 37 × 2 = 1 + 0,803 921 999 999 998 74;
  • 2) 0,803 921 999 999 998 74 × 2 = 1 + 0,607 843 999 999 997 48;
  • 3) 0,607 843 999 999 997 48 × 2 = 1 + 0,215 687 999 999 994 96;
  • 4) 0,215 687 999 999 994 96 × 2 = 0 + 0,431 375 999 999 989 92;
  • 5) 0,431 375 999 999 989 92 × 2 = 0 + 0,862 751 999 999 979 84;
  • 6) 0,862 751 999 999 979 84 × 2 = 1 + 0,725 503 999 999 959 68;
  • 7) 0,725 503 999 999 959 68 × 2 = 1 + 0,451 007 999 999 919 36;
  • 8) 0,451 007 999 999 919 36 × 2 = 0 + 0,902 015 999 999 838 72;
  • 9) 0,902 015 999 999 838 72 × 2 = 1 + 0,804 031 999 999 677 44;
  • 10) 0,804 031 999 999 677 44 × 2 = 1 + 0,608 063 999 999 354 88;
  • 11) 0,608 063 999 999 354 88 × 2 = 1 + 0,216 127 999 998 709 76;
  • 12) 0,216 127 999 998 709 76 × 2 = 0 + 0,432 255 999 997 419 52;
  • 13) 0,432 255 999 997 419 52 × 2 = 0 + 0,864 511 999 994 839 04;
  • 14) 0,864 511 999 994 839 04 × 2 = 1 + 0,729 023 999 989 678 08;
  • 15) 0,729 023 999 989 678 08 × 2 = 1 + 0,458 047 999 979 356 16;
  • 16) 0,458 047 999 979 356 16 × 2 = 0 + 0,916 095 999 958 712 32;
  • 17) 0,916 095 999 958 712 32 × 2 = 1 + 0,832 191 999 917 424 64;
  • 18) 0,832 191 999 917 424 64 × 2 = 1 + 0,664 383 999 834 849 28;
  • 19) 0,664 383 999 834 849 28 × 2 = 1 + 0,328 767 999 669 698 56;
  • 20) 0,328 767 999 669 698 56 × 2 = 0 + 0,657 535 999 339 397 12;
  • 21) 0,657 535 999 339 397 12 × 2 = 1 + 0,315 071 998 678 794 24;
  • 22) 0,315 071 998 678 794 24 × 2 = 0 + 0,630 143 997 357 588 48;
  • 23) 0,630 143 997 357 588 48 × 2 = 1 + 0,260 287 994 715 176 96;
  • 24) 0,260 287 994 715 176 96 × 2 = 0 + 0,520 575 989 430 353 92;
  • 25) 0,520 575 989 430 353 92 × 2 = 1 + 0,041 151 978 860 707 84;
  • 26) 0,041 151 978 860 707 84 × 2 = 0 + 0,082 303 957 721 415 68;
  • 27) 0,082 303 957 721 415 68 × 2 = 0 + 0,164 607 915 442 831 36;
  • 28) 0,164 607 915 442 831 36 × 2 = 0 + 0,329 215 830 885 662 72;
  • 29) 0,329 215 830 885 662 72 × 2 = 0 + 0,658 431 661 771 325 44;
  • 30) 0,658 431 661 771 325 44 × 2 = 1 + 0,316 863 323 542 650 88;
  • 31) 0,316 863 323 542 650 88 × 2 = 0 + 0,633 726 647 085 301 76;
  • 32) 0,633 726 647 085 301 76 × 2 = 1 + 0,267 453 294 170 603 52;
  • 33) 0,267 453 294 170 603 52 × 2 = 0 + 0,534 906 588 341 207 04;
  • 34) 0,534 906 588 341 207 04 × 2 = 1 + 0,069 813 176 682 414 08;
  • 35) 0,069 813 176 682 414 08 × 2 = 0 + 0,139 626 353 364 828 16;
  • 36) 0,139 626 353 364 828 16 × 2 = 0 + 0,279 252 706 729 656 32;
  • 37) 0,279 252 706 729 656 32 × 2 = 0 + 0,558 505 413 459 312 64;
  • 38) 0,558 505 413 459 312 64 × 2 = 1 + 0,117 010 826 918 625 28;
  • 39) 0,117 010 826 918 625 28 × 2 = 0 + 0,234 021 653 837 250 56;
  • 40) 0,234 021 653 837 250 56 × 2 = 0 + 0,468 043 307 674 501 12;
  • 41) 0,468 043 307 674 501 12 × 2 = 0 + 0,936 086 615 349 002 24;
  • 42) 0,936 086 615 349 002 24 × 2 = 1 + 0,872 173 230 698 004 48;
  • 43) 0,872 173 230 698 004 48 × 2 = 1 + 0,744 346 461 396 008 96;
  • 44) 0,744 346 461 396 008 96 × 2 = 1 + 0,488 692 922 792 017 92;
  • 45) 0,488 692 922 792 017 92 × 2 = 0 + 0,977 385 845 584 035 84;
  • 46) 0,977 385 845 584 035 84 × 2 = 1 + 0,954 771 691 168 071 68;
  • 47) 0,954 771 691 168 071 68 × 2 = 1 + 0,909 543 382 336 143 36;
  • 48) 0,909 543 382 336 143 36 × 2 = 1 + 0,819 086 764 672 286 72;
  • 49) 0,819 086 764 672 286 72 × 2 = 1 + 0,638 173 529 344 573 44;
  • 50) 0,638 173 529 344 573 44 × 2 = 1 + 0,276 347 058 689 146 88;
  • 51) 0,276 347 058 689 146 88 × 2 = 0 + 0,552 694 117 378 293 76;
  • 52) 0,552 694 117 378 293 76 × 2 = 1 + 0,105 388 234 756 587 52;
  • 53) 0,105 388 234 756 587 52 × 2 = 0 + 0,210 776 469 513 175 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,901 960 999 999 999 37(10) =

0,1110 0110 1110 0110 1110 1010 1000 0101 0100 0100 0111 0111 1101 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,901 960 999 999 999 37(10) =

0,1110 0110 1110 0110 1110 1010 1000 0101 0100 0100 0111 0111 1101 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,901 960 999 999 999 37(10) =

0,1110 0110 1110 0110 1110 1010 1000 0101 0100 0100 0111 0111 1101 0(2) =

0,1110 0110 1110 0110 1110 1010 1000 0101 0100 0100 0111 0111 1101 0(2) × 20 =

1,1100 1101 1100 1101 1101 0101 0000 1010 1000 1000 1110 1111 1010(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1100 1101 1100 1101 1101 0101 0000 1010 1000 1000 1110 1111 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1100 1101 1100 1101 1101 0101 0000 1010 1000 1000 1110 1111 1010 =

1100 1101 1100 1101 1101 0101 0000 1010 1000 1000 1110 1111 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1100 1101 1100 1101 1101 0101 0000 1010 1000 1000 1110 1111 1010


Numărul zecimal 0,901 960 999 999 999 37 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1100 1101 1100 1101 1101 0101 0000 1010 1000 1000 1110 1111 1010

Distribuie

» Scriere 0,901 960 999 999 999 91 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100