0,957 603 280 698 573 646 935 72 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,957 603 280 698 573 646 935 72(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,957 603 280 698 573 646 935 72(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,957 603 280 698 573 646 935 72.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,957 603 280 698 573 646 935 72 × 2 = 1 + 0,915 206 561 397 147 293 871 44;
  • 2) 0,915 206 561 397 147 293 871 44 × 2 = 1 + 0,830 413 122 794 294 587 742 88;
  • 3) 0,830 413 122 794 294 587 742 88 × 2 = 1 + 0,660 826 245 588 589 175 485 76;
  • 4) 0,660 826 245 588 589 175 485 76 × 2 = 1 + 0,321 652 491 177 178 350 971 52;
  • 5) 0,321 652 491 177 178 350 971 52 × 2 = 0 + 0,643 304 982 354 356 701 943 04;
  • 6) 0,643 304 982 354 356 701 943 04 × 2 = 1 + 0,286 609 964 708 713 403 886 08;
  • 7) 0,286 609 964 708 713 403 886 08 × 2 = 0 + 0,573 219 929 417 426 807 772 16;
  • 8) 0,573 219 929 417 426 807 772 16 × 2 = 1 + 0,146 439 858 834 853 615 544 32;
  • 9) 0,146 439 858 834 853 615 544 32 × 2 = 0 + 0,292 879 717 669 707 231 088 64;
  • 10) 0,292 879 717 669 707 231 088 64 × 2 = 0 + 0,585 759 435 339 414 462 177 28;
  • 11) 0,585 759 435 339 414 462 177 28 × 2 = 1 + 0,171 518 870 678 828 924 354 56;
  • 12) 0,171 518 870 678 828 924 354 56 × 2 = 0 + 0,343 037 741 357 657 848 709 12;
  • 13) 0,343 037 741 357 657 848 709 12 × 2 = 0 + 0,686 075 482 715 315 697 418 24;
  • 14) 0,686 075 482 715 315 697 418 24 × 2 = 1 + 0,372 150 965 430 631 394 836 48;
  • 15) 0,372 150 965 430 631 394 836 48 × 2 = 0 + 0,744 301 930 861 262 789 672 96;
  • 16) 0,744 301 930 861 262 789 672 96 × 2 = 1 + 0,488 603 861 722 525 579 345 92;
  • 17) 0,488 603 861 722 525 579 345 92 × 2 = 0 + 0,977 207 723 445 051 158 691 84;
  • 18) 0,977 207 723 445 051 158 691 84 × 2 = 1 + 0,954 415 446 890 102 317 383 68;
  • 19) 0,954 415 446 890 102 317 383 68 × 2 = 1 + 0,908 830 893 780 204 634 767 36;
  • 20) 0,908 830 893 780 204 634 767 36 × 2 = 1 + 0,817 661 787 560 409 269 534 72;
  • 21) 0,817 661 787 560 409 269 534 72 × 2 = 1 + 0,635 323 575 120 818 539 069 44;
  • 22) 0,635 323 575 120 818 539 069 44 × 2 = 1 + 0,270 647 150 241 637 078 138 88;
  • 23) 0,270 647 150 241 637 078 138 88 × 2 = 0 + 0,541 294 300 483 274 156 277 76;
  • 24) 0,541 294 300 483 274 156 277 76 × 2 = 1 + 0,082 588 600 966 548 312 555 52;
  • 25) 0,082 588 600 966 548 312 555 52 × 2 = 0 + 0,165 177 201 933 096 625 111 04;
  • 26) 0,165 177 201 933 096 625 111 04 × 2 = 0 + 0,330 354 403 866 193 250 222 08;
  • 27) 0,330 354 403 866 193 250 222 08 × 2 = 0 + 0,660 708 807 732 386 500 444 16;
  • 28) 0,660 708 807 732 386 500 444 16 × 2 = 1 + 0,321 417 615 464 773 000 888 32;
  • 29) 0,321 417 615 464 773 000 888 32 × 2 = 0 + 0,642 835 230 929 546 001 776 64;
  • 30) 0,642 835 230 929 546 001 776 64 × 2 = 1 + 0,285 670 461 859 092 003 553 28;
  • 31) 0,285 670 461 859 092 003 553 28 × 2 = 0 + 0,571 340 923 718 184 007 106 56;
  • 32) 0,571 340 923 718 184 007 106 56 × 2 = 1 + 0,142 681 847 436 368 014 213 12;
  • 33) 0,142 681 847 436 368 014 213 12 × 2 = 0 + 0,285 363 694 872 736 028 426 24;
  • 34) 0,285 363 694 872 736 028 426 24 × 2 = 0 + 0,570 727 389 745 472 056 852 48;
  • 35) 0,570 727 389 745 472 056 852 48 × 2 = 1 + 0,141 454 779 490 944 113 704 96;
  • 36) 0,141 454 779 490 944 113 704 96 × 2 = 0 + 0,282 909 558 981 888 227 409 92;
  • 37) 0,282 909 558 981 888 227 409 92 × 2 = 0 + 0,565 819 117 963 776 454 819 84;
  • 38) 0,565 819 117 963 776 454 819 84 × 2 = 1 + 0,131 638 235 927 552 909 639 68;
  • 39) 0,131 638 235 927 552 909 639 68 × 2 = 0 + 0,263 276 471 855 105 819 279 36;
  • 40) 0,263 276 471 855 105 819 279 36 × 2 = 0 + 0,526 552 943 710 211 638 558 72;
  • 41) 0,526 552 943 710 211 638 558 72 × 2 = 1 + 0,053 105 887 420 423 277 117 44;
  • 42) 0,053 105 887 420 423 277 117 44 × 2 = 0 + 0,106 211 774 840 846 554 234 88;
  • 43) 0,106 211 774 840 846 554 234 88 × 2 = 0 + 0,212 423 549 681 693 108 469 76;
  • 44) 0,212 423 549 681 693 108 469 76 × 2 = 0 + 0,424 847 099 363 386 216 939 52;
  • 45) 0,424 847 099 363 386 216 939 52 × 2 = 0 + 0,849 694 198 726 772 433 879 04;
  • 46) 0,849 694 198 726 772 433 879 04 × 2 = 1 + 0,699 388 397 453 544 867 758 08;
  • 47) 0,699 388 397 453 544 867 758 08 × 2 = 1 + 0,398 776 794 907 089 735 516 16;
  • 48) 0,398 776 794 907 089 735 516 16 × 2 = 0 + 0,797 553 589 814 179 471 032 32;
  • 49) 0,797 553 589 814 179 471 032 32 × 2 = 1 + 0,595 107 179 628 358 942 064 64;
  • 50) 0,595 107 179 628 358 942 064 64 × 2 = 1 + 0,190 214 359 256 717 884 129 28;
  • 51) 0,190 214 359 256 717 884 129 28 × 2 = 0 + 0,380 428 718 513 435 768 258 56;
  • 52) 0,380 428 718 513 435 768 258 56 × 2 = 0 + 0,760 857 437 026 871 536 517 12;
  • 53) 0,760 857 437 026 871 536 517 12 × 2 = 1 + 0,521 714 874 053 743 073 034 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,957 603 280 698 573 646 935 72(10) =

0,1111 0101 0010 0101 0111 1101 0001 0101 0010 0100 1000 0110 1100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,957 603 280 698 573 646 935 72(10) =

0,1111 0101 0010 0101 0111 1101 0001 0101 0010 0100 1000 0110 1100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,957 603 280 698 573 646 935 72(10) =

0,1111 0101 0010 0101 0111 1101 0001 0101 0010 0100 1000 0110 1100 1(2) =

0,1111 0101 0010 0101 0111 1101 0001 0101 0010 0100 1000 0110 1100 1(2) × 20 =

1,1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1001(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1001 =

1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1001


Numărul zecimal 0,957 603 280 698 573 646 935 72 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1001

Distribuie

» Scriere 0,957 603 280 698 573 646 935 44 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100