0,974 013 318 540 61 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,974 013 318 540 61(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,974 013 318 540 61(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,974 013 318 540 61.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,974 013 318 540 61 × 2 = 1 + 0,948 026 637 081 22;
  • 2) 0,948 026 637 081 22 × 2 = 1 + 0,896 053 274 162 44;
  • 3) 0,896 053 274 162 44 × 2 = 1 + 0,792 106 548 324 88;
  • 4) 0,792 106 548 324 88 × 2 = 1 + 0,584 213 096 649 76;
  • 5) 0,584 213 096 649 76 × 2 = 1 + 0,168 426 193 299 52;
  • 6) 0,168 426 193 299 52 × 2 = 0 + 0,336 852 386 599 04;
  • 7) 0,336 852 386 599 04 × 2 = 0 + 0,673 704 773 198 08;
  • 8) 0,673 704 773 198 08 × 2 = 1 + 0,347 409 546 396 16;
  • 9) 0,347 409 546 396 16 × 2 = 0 + 0,694 819 092 792 32;
  • 10) 0,694 819 092 792 32 × 2 = 1 + 0,389 638 185 584 64;
  • 11) 0,389 638 185 584 64 × 2 = 0 + 0,779 276 371 169 28;
  • 12) 0,779 276 371 169 28 × 2 = 1 + 0,558 552 742 338 56;
  • 13) 0,558 552 742 338 56 × 2 = 1 + 0,117 105 484 677 12;
  • 14) 0,117 105 484 677 12 × 2 = 0 + 0,234 210 969 354 24;
  • 15) 0,234 210 969 354 24 × 2 = 0 + 0,468 421 938 708 48;
  • 16) 0,468 421 938 708 48 × 2 = 0 + 0,936 843 877 416 96;
  • 17) 0,936 843 877 416 96 × 2 = 1 + 0,873 687 754 833 92;
  • 18) 0,873 687 754 833 92 × 2 = 1 + 0,747 375 509 667 84;
  • 19) 0,747 375 509 667 84 × 2 = 1 + 0,494 751 019 335 68;
  • 20) 0,494 751 019 335 68 × 2 = 0 + 0,989 502 038 671 36;
  • 21) 0,989 502 038 671 36 × 2 = 1 + 0,979 004 077 342 72;
  • 22) 0,979 004 077 342 72 × 2 = 1 + 0,958 008 154 685 44;
  • 23) 0,958 008 154 685 44 × 2 = 1 + 0,916 016 309 370 88;
  • 24) 0,916 016 309 370 88 × 2 = 1 + 0,832 032 618 741 76;
  • 25) 0,832 032 618 741 76 × 2 = 1 + 0,664 065 237 483 52;
  • 26) 0,664 065 237 483 52 × 2 = 1 + 0,328 130 474 967 04;
  • 27) 0,328 130 474 967 04 × 2 = 0 + 0,656 260 949 934 08;
  • 28) 0,656 260 949 934 08 × 2 = 1 + 0,312 521 899 868 16;
  • 29) 0,312 521 899 868 16 × 2 = 0 + 0,625 043 799 736 32;
  • 30) 0,625 043 799 736 32 × 2 = 1 + 0,250 087 599 472 64;
  • 31) 0,250 087 599 472 64 × 2 = 0 + 0,500 175 198 945 28;
  • 32) 0,500 175 198 945 28 × 2 = 1 + 0,000 350 397 890 56;
  • 33) 0,000 350 397 890 56 × 2 = 0 + 0,000 700 795 781 12;
  • 34) 0,000 700 795 781 12 × 2 = 0 + 0,001 401 591 562 24;
  • 35) 0,001 401 591 562 24 × 2 = 0 + 0,002 803 183 124 48;
  • 36) 0,002 803 183 124 48 × 2 = 0 + 0,005 606 366 248 96;
  • 37) 0,005 606 366 248 96 × 2 = 0 + 0,011 212 732 497 92;
  • 38) 0,011 212 732 497 92 × 2 = 0 + 0,022 425 464 995 84;
  • 39) 0,022 425 464 995 84 × 2 = 0 + 0,044 850 929 991 68;
  • 40) 0,044 850 929 991 68 × 2 = 0 + 0,089 701 859 983 36;
  • 41) 0,089 701 859 983 36 × 2 = 0 + 0,179 403 719 966 72;
  • 42) 0,179 403 719 966 72 × 2 = 0 + 0,358 807 439 933 44;
  • 43) 0,358 807 439 933 44 × 2 = 0 + 0,717 614 879 866 88;
  • 44) 0,717 614 879 866 88 × 2 = 1 + 0,435 229 759 733 76;
  • 45) 0,435 229 759 733 76 × 2 = 0 + 0,870 459 519 467 52;
  • 46) 0,870 459 519 467 52 × 2 = 1 + 0,740 919 038 935 04;
  • 47) 0,740 919 038 935 04 × 2 = 1 + 0,481 838 077 870 08;
  • 48) 0,481 838 077 870 08 × 2 = 0 + 0,963 676 155 740 16;
  • 49) 0,963 676 155 740 16 × 2 = 1 + 0,927 352 311 480 32;
  • 50) 0,927 352 311 480 32 × 2 = 1 + 0,854 704 622 960 64;
  • 51) 0,854 704 622 960 64 × 2 = 1 + 0,709 409 245 921 28;
  • 52) 0,709 409 245 921 28 × 2 = 1 + 0,418 818 491 842 56;
  • 53) 0,418 818 491 842 56 × 2 = 0 + 0,837 636 983 685 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,974 013 318 540 61(10) =

0,1111 1001 0101 1000 1110 1111 1101 0101 0000 0000 0001 0110 1111 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,974 013 318 540 61(10) =

0,1111 1001 0101 1000 1110 1111 1101 0101 0000 0000 0001 0110 1111 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,974 013 318 540 61(10) =

0,1111 1001 0101 1000 1110 1111 1101 0101 0000 0000 0001 0110 1111 0(2) =

0,1111 1001 0101 1000 1110 1111 1101 0101 0000 0000 0001 0110 1111 0(2) × 20 =

1,1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0000 0000 0010 1101 1110(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0000 0000 0010 1101 1110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0000 0000 0010 1101 1110 =

1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0000 0000 0010 1101 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0000 0000 0010 1101 1110


Numărul zecimal 0,974 013 318 540 61 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0000 0000 0010 1101 1110

Distribuie

» Scriere 0,974 013 318 541 33 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100