0,974 013 318 541 729 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,974 013 318 541 729 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,974 013 318 541 729 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,974 013 318 541 729 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,974 013 318 541 729 4 × 2 = 1 + 0,948 026 637 083 458 8;
  • 2) 0,948 026 637 083 458 8 × 2 = 1 + 0,896 053 274 166 917 6;
  • 3) 0,896 053 274 166 917 6 × 2 = 1 + 0,792 106 548 333 835 2;
  • 4) 0,792 106 548 333 835 2 × 2 = 1 + 0,584 213 096 667 670 4;
  • 5) 0,584 213 096 667 670 4 × 2 = 1 + 0,168 426 193 335 340 8;
  • 6) 0,168 426 193 335 340 8 × 2 = 0 + 0,336 852 386 670 681 6;
  • 7) 0,336 852 386 670 681 6 × 2 = 0 + 0,673 704 773 341 363 2;
  • 8) 0,673 704 773 341 363 2 × 2 = 1 + 0,347 409 546 682 726 4;
  • 9) 0,347 409 546 682 726 4 × 2 = 0 + 0,694 819 093 365 452 8;
  • 10) 0,694 819 093 365 452 8 × 2 = 1 + 0,389 638 186 730 905 6;
  • 11) 0,389 638 186 730 905 6 × 2 = 0 + 0,779 276 373 461 811 2;
  • 12) 0,779 276 373 461 811 2 × 2 = 1 + 0,558 552 746 923 622 4;
  • 13) 0,558 552 746 923 622 4 × 2 = 1 + 0,117 105 493 847 244 8;
  • 14) 0,117 105 493 847 244 8 × 2 = 0 + 0,234 210 987 694 489 6;
  • 15) 0,234 210 987 694 489 6 × 2 = 0 + 0,468 421 975 388 979 2;
  • 16) 0,468 421 975 388 979 2 × 2 = 0 + 0,936 843 950 777 958 4;
  • 17) 0,936 843 950 777 958 4 × 2 = 1 + 0,873 687 901 555 916 8;
  • 18) 0,873 687 901 555 916 8 × 2 = 1 + 0,747 375 803 111 833 6;
  • 19) 0,747 375 803 111 833 6 × 2 = 1 + 0,494 751 606 223 667 2;
  • 20) 0,494 751 606 223 667 2 × 2 = 0 + 0,989 503 212 447 334 4;
  • 21) 0,989 503 212 447 334 4 × 2 = 1 + 0,979 006 424 894 668 8;
  • 22) 0,979 006 424 894 668 8 × 2 = 1 + 0,958 012 849 789 337 6;
  • 23) 0,958 012 849 789 337 6 × 2 = 1 + 0,916 025 699 578 675 2;
  • 24) 0,916 025 699 578 675 2 × 2 = 1 + 0,832 051 399 157 350 4;
  • 25) 0,832 051 399 157 350 4 × 2 = 1 + 0,664 102 798 314 700 8;
  • 26) 0,664 102 798 314 700 8 × 2 = 1 + 0,328 205 596 629 401 6;
  • 27) 0,328 205 596 629 401 6 × 2 = 0 + 0,656 411 193 258 803 2;
  • 28) 0,656 411 193 258 803 2 × 2 = 1 + 0,312 822 386 517 606 4;
  • 29) 0,312 822 386 517 606 4 × 2 = 0 + 0,625 644 773 035 212 8;
  • 30) 0,625 644 773 035 212 8 × 2 = 1 + 0,251 289 546 070 425 6;
  • 31) 0,251 289 546 070 425 6 × 2 = 0 + 0,502 579 092 140 851 2;
  • 32) 0,502 579 092 140 851 2 × 2 = 1 + 0,005 158 184 281 702 4;
  • 33) 0,005 158 184 281 702 4 × 2 = 0 + 0,010 316 368 563 404 8;
  • 34) 0,010 316 368 563 404 8 × 2 = 0 + 0,020 632 737 126 809 6;
  • 35) 0,020 632 737 126 809 6 × 2 = 0 + 0,041 265 474 253 619 2;
  • 36) 0,041 265 474 253 619 2 × 2 = 0 + 0,082 530 948 507 238 4;
  • 37) 0,082 530 948 507 238 4 × 2 = 0 + 0,165 061 897 014 476 8;
  • 38) 0,165 061 897 014 476 8 × 2 = 0 + 0,330 123 794 028 953 6;
  • 39) 0,330 123 794 028 953 6 × 2 = 0 + 0,660 247 588 057 907 2;
  • 40) 0,660 247 588 057 907 2 × 2 = 1 + 0,320 495 176 115 814 4;
  • 41) 0,320 495 176 115 814 4 × 2 = 0 + 0,640 990 352 231 628 8;
  • 42) 0,640 990 352 231 628 8 × 2 = 1 + 0,281 980 704 463 257 6;
  • 43) 0,281 980 704 463 257 6 × 2 = 0 + 0,563 961 408 926 515 2;
  • 44) 0,563 961 408 926 515 2 × 2 = 1 + 0,127 922 817 853 030 4;
  • 45) 0,127 922 817 853 030 4 × 2 = 0 + 0,255 845 635 706 060 8;
  • 46) 0,255 845 635 706 060 8 × 2 = 0 + 0,511 691 271 412 121 6;
  • 47) 0,511 691 271 412 121 6 × 2 = 1 + 0,023 382 542 824 243 2;
  • 48) 0,023 382 542 824 243 2 × 2 = 0 + 0,046 765 085 648 486 4;
  • 49) 0,046 765 085 648 486 4 × 2 = 0 + 0,093 530 171 296 972 8;
  • 50) 0,093 530 171 296 972 8 × 2 = 0 + 0,187 060 342 593 945 6;
  • 51) 0,187 060 342 593 945 6 × 2 = 0 + 0,374 120 685 187 891 2;
  • 52) 0,374 120 685 187 891 2 × 2 = 0 + 0,748 241 370 375 782 4;
  • 53) 0,748 241 370 375 782 4 × 2 = 1 + 0,496 482 740 751 564 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,974 013 318 541 729 4(10) =

0,1111 1001 0101 1000 1110 1111 1101 0101 0000 0001 0101 0010 0000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,974 013 318 541 729 4(10) =

0,1111 1001 0101 1000 1110 1111 1101 0101 0000 0001 0101 0010 0000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,974 013 318 541 729 4(10) =

0,1111 1001 0101 1000 1110 1111 1101 0101 0000 0001 0101 0010 0000 1(2) =

0,1111 1001 0101 1000 1110 1111 1101 0101 0000 0001 0101 0010 0000 1(2) × 20 =

1,1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0000 0010 1010 0100 0001(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0000 0010 1010 0100 0001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0000 0010 1010 0100 0001 =

1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0000 0010 1010 0100 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0000 0010 1010 0100 0001


Numărul zecimal 0,974 013 318 541 729 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0000 0010 1010 0100 0001

Distribuie

» Scriere 0,974 013 318 541 737 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100