0,974 013 318 556 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,974 013 318 556 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,974 013 318 556 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,974 013 318 556 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,974 013 318 556 4 × 2 = 1 + 0,948 026 637 112 8;
  • 2) 0,948 026 637 112 8 × 2 = 1 + 0,896 053 274 225 6;
  • 3) 0,896 053 274 225 6 × 2 = 1 + 0,792 106 548 451 2;
  • 4) 0,792 106 548 451 2 × 2 = 1 + 0,584 213 096 902 4;
  • 5) 0,584 213 096 902 4 × 2 = 1 + 0,168 426 193 804 8;
  • 6) 0,168 426 193 804 8 × 2 = 0 + 0,336 852 387 609 6;
  • 7) 0,336 852 387 609 6 × 2 = 0 + 0,673 704 775 219 2;
  • 8) 0,673 704 775 219 2 × 2 = 1 + 0,347 409 550 438 4;
  • 9) 0,347 409 550 438 4 × 2 = 0 + 0,694 819 100 876 8;
  • 10) 0,694 819 100 876 8 × 2 = 1 + 0,389 638 201 753 6;
  • 11) 0,389 638 201 753 6 × 2 = 0 + 0,779 276 403 507 2;
  • 12) 0,779 276 403 507 2 × 2 = 1 + 0,558 552 807 014 4;
  • 13) 0,558 552 807 014 4 × 2 = 1 + 0,117 105 614 028 8;
  • 14) 0,117 105 614 028 8 × 2 = 0 + 0,234 211 228 057 6;
  • 15) 0,234 211 228 057 6 × 2 = 0 + 0,468 422 456 115 2;
  • 16) 0,468 422 456 115 2 × 2 = 0 + 0,936 844 912 230 4;
  • 17) 0,936 844 912 230 4 × 2 = 1 + 0,873 689 824 460 8;
  • 18) 0,873 689 824 460 8 × 2 = 1 + 0,747 379 648 921 6;
  • 19) 0,747 379 648 921 6 × 2 = 1 + 0,494 759 297 843 2;
  • 20) 0,494 759 297 843 2 × 2 = 0 + 0,989 518 595 686 4;
  • 21) 0,989 518 595 686 4 × 2 = 1 + 0,979 037 191 372 8;
  • 22) 0,979 037 191 372 8 × 2 = 1 + 0,958 074 382 745 6;
  • 23) 0,958 074 382 745 6 × 2 = 1 + 0,916 148 765 491 2;
  • 24) 0,916 148 765 491 2 × 2 = 1 + 0,832 297 530 982 4;
  • 25) 0,832 297 530 982 4 × 2 = 1 + 0,664 595 061 964 8;
  • 26) 0,664 595 061 964 8 × 2 = 1 + 0,329 190 123 929 6;
  • 27) 0,329 190 123 929 6 × 2 = 0 + 0,658 380 247 859 2;
  • 28) 0,658 380 247 859 2 × 2 = 1 + 0,316 760 495 718 4;
  • 29) 0,316 760 495 718 4 × 2 = 0 + 0,633 520 991 436 8;
  • 30) 0,633 520 991 436 8 × 2 = 1 + 0,267 041 982 873 6;
  • 31) 0,267 041 982 873 6 × 2 = 0 + 0,534 083 965 747 2;
  • 32) 0,534 083 965 747 2 × 2 = 1 + 0,068 167 931 494 4;
  • 33) 0,068 167 931 494 4 × 2 = 0 + 0,136 335 862 988 8;
  • 34) 0,136 335 862 988 8 × 2 = 0 + 0,272 671 725 977 6;
  • 35) 0,272 671 725 977 6 × 2 = 0 + 0,545 343 451 955 2;
  • 36) 0,545 343 451 955 2 × 2 = 1 + 0,090 686 903 910 4;
  • 37) 0,090 686 903 910 4 × 2 = 0 + 0,181 373 807 820 8;
  • 38) 0,181 373 807 820 8 × 2 = 0 + 0,362 747 615 641 6;
  • 39) 0,362 747 615 641 6 × 2 = 0 + 0,725 495 231 283 2;
  • 40) 0,725 495 231 283 2 × 2 = 1 + 0,450 990 462 566 4;
  • 41) 0,450 990 462 566 4 × 2 = 0 + 0,901 980 925 132 8;
  • 42) 0,901 980 925 132 8 × 2 = 1 + 0,803 961 850 265 6;
  • 43) 0,803 961 850 265 6 × 2 = 1 + 0,607 923 700 531 2;
  • 44) 0,607 923 700 531 2 × 2 = 1 + 0,215 847 401 062 4;
  • 45) 0,215 847 401 062 4 × 2 = 0 + 0,431 694 802 124 8;
  • 46) 0,431 694 802 124 8 × 2 = 0 + 0,863 389 604 249 6;
  • 47) 0,863 389 604 249 6 × 2 = 1 + 0,726 779 208 499 2;
  • 48) 0,726 779 208 499 2 × 2 = 1 + 0,453 558 416 998 4;
  • 49) 0,453 558 416 998 4 × 2 = 0 + 0,907 116 833 996 8;
  • 50) 0,907 116 833 996 8 × 2 = 1 + 0,814 233 667 993 6;
  • 51) 0,814 233 667 993 6 × 2 = 1 + 0,628 467 335 987 2;
  • 52) 0,628 467 335 987 2 × 2 = 1 + 0,256 934 671 974 4;
  • 53) 0,256 934 671 974 4 × 2 = 0 + 0,513 869 343 948 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,974 013 318 556 4(10) =

0,1111 1001 0101 1000 1110 1111 1101 0101 0001 0001 0111 0011 0111 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,974 013 318 556 4(10) =

0,1111 1001 0101 1000 1110 1111 1101 0101 0001 0001 0111 0011 0111 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,974 013 318 556 4(10) =

0,1111 1001 0101 1000 1110 1111 1101 0101 0001 0001 0111 0011 0111 0(2) =

0,1111 1001 0101 1000 1110 1111 1101 0101 0001 0001 0111 0011 0111 0(2) × 20 =

1,1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0010 0010 1110 0110 1110(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0010 0010 1110 0110 1110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0010 0010 1110 0110 1110 =

1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0010 0010 1110 0110 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0010 0010 1110 0110 1110


Numărul zecimal 0,974 013 318 556 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1111 0010 1011 0001 1101 1111 1010 1010 0010 0010 1110 0110 1110

Distribuie

» Scriere 0,974 013 318 550 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100