0,996 194 697 999 999 934 090 02 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,996 194 697 999 999 934 090 02(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,996 194 697 999 999 934 090 02(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,996 194 697 999 999 934 090 02.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,996 194 697 999 999 934 090 02 × 2 = 1 + 0,992 389 395 999 999 868 180 04;
  • 2) 0,992 389 395 999 999 868 180 04 × 2 = 1 + 0,984 778 791 999 999 736 360 08;
  • 3) 0,984 778 791 999 999 736 360 08 × 2 = 1 + 0,969 557 583 999 999 472 720 16;
  • 4) 0,969 557 583 999 999 472 720 16 × 2 = 1 + 0,939 115 167 999 998 945 440 32;
  • 5) 0,939 115 167 999 998 945 440 32 × 2 = 1 + 0,878 230 335 999 997 890 880 64;
  • 6) 0,878 230 335 999 997 890 880 64 × 2 = 1 + 0,756 460 671 999 995 781 761 28;
  • 7) 0,756 460 671 999 995 781 761 28 × 2 = 1 + 0,512 921 343 999 991 563 522 56;
  • 8) 0,512 921 343 999 991 563 522 56 × 2 = 1 + 0,025 842 687 999 983 127 045 12;
  • 9) 0,025 842 687 999 983 127 045 12 × 2 = 0 + 0,051 685 375 999 966 254 090 24;
  • 10) 0,051 685 375 999 966 254 090 24 × 2 = 0 + 0,103 370 751 999 932 508 180 48;
  • 11) 0,103 370 751 999 932 508 180 48 × 2 = 0 + 0,206 741 503 999 865 016 360 96;
  • 12) 0,206 741 503 999 865 016 360 96 × 2 = 0 + 0,413 483 007 999 730 032 721 92;
  • 13) 0,413 483 007 999 730 032 721 92 × 2 = 0 + 0,826 966 015 999 460 065 443 84;
  • 14) 0,826 966 015 999 460 065 443 84 × 2 = 1 + 0,653 932 031 998 920 130 887 68;
  • 15) 0,653 932 031 998 920 130 887 68 × 2 = 1 + 0,307 864 063 997 840 261 775 36;
  • 16) 0,307 864 063 997 840 261 775 36 × 2 = 0 + 0,615 728 127 995 680 523 550 72;
  • 17) 0,615 728 127 995 680 523 550 72 × 2 = 1 + 0,231 456 255 991 361 047 101 44;
  • 18) 0,231 456 255 991 361 047 101 44 × 2 = 0 + 0,462 912 511 982 722 094 202 88;
  • 19) 0,462 912 511 982 722 094 202 88 × 2 = 0 + 0,925 825 023 965 444 188 405 76;
  • 20) 0,925 825 023 965 444 188 405 76 × 2 = 1 + 0,851 650 047 930 888 376 811 52;
  • 21) 0,851 650 047 930 888 376 811 52 × 2 = 1 + 0,703 300 095 861 776 753 623 04;
  • 22) 0,703 300 095 861 776 753 623 04 × 2 = 1 + 0,406 600 191 723 553 507 246 08;
  • 23) 0,406 600 191 723 553 507 246 08 × 2 = 0 + 0,813 200 383 447 107 014 492 16;
  • 24) 0,813 200 383 447 107 014 492 16 × 2 = 1 + 0,626 400 766 894 214 028 984 32;
  • 25) 0,626 400 766 894 214 028 984 32 × 2 = 1 + 0,252 801 533 788 428 057 968 64;
  • 26) 0,252 801 533 788 428 057 968 64 × 2 = 0 + 0,505 603 067 576 856 115 937 28;
  • 27) 0,505 603 067 576 856 115 937 28 × 2 = 1 + 0,011 206 135 153 712 231 874 56;
  • 28) 0,011 206 135 153 712 231 874 56 × 2 = 0 + 0,022 412 270 307 424 463 749 12;
  • 29) 0,022 412 270 307 424 463 749 12 × 2 = 0 + 0,044 824 540 614 848 927 498 24;
  • 30) 0,044 824 540 614 848 927 498 24 × 2 = 0 + 0,089 649 081 229 697 854 996 48;
  • 31) 0,089 649 081 229 697 854 996 48 × 2 = 0 + 0,179 298 162 459 395 709 992 96;
  • 32) 0,179 298 162 459 395 709 992 96 × 2 = 0 + 0,358 596 324 918 791 419 985 92;
  • 33) 0,358 596 324 918 791 419 985 92 × 2 = 0 + 0,717 192 649 837 582 839 971 84;
  • 34) 0,717 192 649 837 582 839 971 84 × 2 = 1 + 0,434 385 299 675 165 679 943 68;
  • 35) 0,434 385 299 675 165 679 943 68 × 2 = 0 + 0,868 770 599 350 331 359 887 36;
  • 36) 0,868 770 599 350 331 359 887 36 × 2 = 1 + 0,737 541 198 700 662 719 774 72;
  • 37) 0,737 541 198 700 662 719 774 72 × 2 = 1 + 0,475 082 397 401 325 439 549 44;
  • 38) 0,475 082 397 401 325 439 549 44 × 2 = 0 + 0,950 164 794 802 650 879 098 88;
  • 39) 0,950 164 794 802 650 879 098 88 × 2 = 1 + 0,900 329 589 605 301 758 197 76;
  • 40) 0,900 329 589 605 301 758 197 76 × 2 = 1 + 0,800 659 179 210 603 516 395 52;
  • 41) 0,800 659 179 210 603 516 395 52 × 2 = 1 + 0,601 318 358 421 207 032 791 04;
  • 42) 0,601 318 358 421 207 032 791 04 × 2 = 1 + 0,202 636 716 842 414 065 582 08;
  • 43) 0,202 636 716 842 414 065 582 08 × 2 = 0 + 0,405 273 433 684 828 131 164 16;
  • 44) 0,405 273 433 684 828 131 164 16 × 2 = 0 + 0,810 546 867 369 656 262 328 32;
  • 45) 0,810 546 867 369 656 262 328 32 × 2 = 1 + 0,621 093 734 739 312 524 656 64;
  • 46) 0,621 093 734 739 312 524 656 64 × 2 = 1 + 0,242 187 469 478 625 049 313 28;
  • 47) 0,242 187 469 478 625 049 313 28 × 2 = 0 + 0,484 374 938 957 250 098 626 56;
  • 48) 0,484 374 938 957 250 098 626 56 × 2 = 0 + 0,968 749 877 914 500 197 253 12;
  • 49) 0,968 749 877 914 500 197 253 12 × 2 = 1 + 0,937 499 755 829 000 394 506 24;
  • 50) 0,937 499 755 829 000 394 506 24 × 2 = 1 + 0,874 999 511 658 000 789 012 48;
  • 51) 0,874 999 511 658 000 789 012 48 × 2 = 1 + 0,749 999 023 316 001 578 024 96;
  • 52) 0,749 999 023 316 001 578 024 96 × 2 = 1 + 0,499 998 046 632 003 156 049 92;
  • 53) 0,499 998 046 632 003 156 049 92 × 2 = 0 + 0,999 996 093 264 006 312 099 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,996 194 697 999 999 934 090 02(10) =

0,1111 1111 0000 0110 1001 1101 1010 0000 0101 1011 1100 1100 1111 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,996 194 697 999 999 934 090 02(10) =

0,1111 1111 0000 0110 1001 1101 1010 0000 0101 1011 1100 1100 1111 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,996 194 697 999 999 934 090 02(10) =

0,1111 1111 0000 0110 1001 1101 1010 0000 0101 1011 1100 1100 1111 0(2) =

0,1111 1111 0000 0110 1001 1101 1010 0000 0101 1011 1100 1100 1111 0(2) × 20 =

1,1111 1110 0000 1101 0011 1011 0100 0000 1011 0111 1001 1001 1110(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1110 0000 1101 0011 1011 0100 0000 1011 0111 1001 1001 1110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1110 0000 1101 0011 1011 0100 0000 1011 0111 1001 1001 1110 =

1111 1110 0000 1101 0011 1011 0100 0000 1011 0111 1001 1001 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1111 1110 0000 1101 0011 1011 0100 0000 1011 0111 1001 1001 1110


Numărul zecimal 0,996 194 697 999 999 934 090 02 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1111 1110 0000 1101 0011 1011 0100 0000 1011 0111 1001 1001 1110

Distribuie

» Scriere 0,996 194 697 999 999 934 090 98 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100