0,999 847 695 159 998 476 94 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,999 847 695 159 998 476 94(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,999 847 695 159 998 476 94(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,999 847 695 159 998 476 94.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,999 847 695 159 998 476 94 × 2 = 1 + 0,999 695 390 319 996 953 88;
  • 2) 0,999 695 390 319 996 953 88 × 2 = 1 + 0,999 390 780 639 993 907 76;
  • 3) 0,999 390 780 639 993 907 76 × 2 = 1 + 0,998 781 561 279 987 815 52;
  • 4) 0,998 781 561 279 987 815 52 × 2 = 1 + 0,997 563 122 559 975 631 04;
  • 5) 0,997 563 122 559 975 631 04 × 2 = 1 + 0,995 126 245 119 951 262 08;
  • 6) 0,995 126 245 119 951 262 08 × 2 = 1 + 0,990 252 490 239 902 524 16;
  • 7) 0,990 252 490 239 902 524 16 × 2 = 1 + 0,980 504 980 479 805 048 32;
  • 8) 0,980 504 980 479 805 048 32 × 2 = 1 + 0,961 009 960 959 610 096 64;
  • 9) 0,961 009 960 959 610 096 64 × 2 = 1 + 0,922 019 921 919 220 193 28;
  • 10) 0,922 019 921 919 220 193 28 × 2 = 1 + 0,844 039 843 838 440 386 56;
  • 11) 0,844 039 843 838 440 386 56 × 2 = 1 + 0,688 079 687 676 880 773 12;
  • 12) 0,688 079 687 676 880 773 12 × 2 = 1 + 0,376 159 375 353 761 546 24;
  • 13) 0,376 159 375 353 761 546 24 × 2 = 0 + 0,752 318 750 707 523 092 48;
  • 14) 0,752 318 750 707 523 092 48 × 2 = 1 + 0,504 637 501 415 046 184 96;
  • 15) 0,504 637 501 415 046 184 96 × 2 = 1 + 0,009 275 002 830 092 369 92;
  • 16) 0,009 275 002 830 092 369 92 × 2 = 0 + 0,018 550 005 660 184 739 84;
  • 17) 0,018 550 005 660 184 739 84 × 2 = 0 + 0,037 100 011 320 369 479 68;
  • 18) 0,037 100 011 320 369 479 68 × 2 = 0 + 0,074 200 022 640 738 959 36;
  • 19) 0,074 200 022 640 738 959 36 × 2 = 0 + 0,148 400 045 281 477 918 72;
  • 20) 0,148 400 045 281 477 918 72 × 2 = 0 + 0,296 800 090 562 955 837 44;
  • 21) 0,296 800 090 562 955 837 44 × 2 = 0 + 0,593 600 181 125 911 674 88;
  • 22) 0,593 600 181 125 911 674 88 × 2 = 1 + 0,187 200 362 251 823 349 76;
  • 23) 0,187 200 362 251 823 349 76 × 2 = 0 + 0,374 400 724 503 646 699 52;
  • 24) 0,374 400 724 503 646 699 52 × 2 = 0 + 0,748 801 449 007 293 399 04;
  • 25) 0,748 801 449 007 293 399 04 × 2 = 1 + 0,497 602 898 014 586 798 08;
  • 26) 0,497 602 898 014 586 798 08 × 2 = 0 + 0,995 205 796 029 173 596 16;
  • 27) 0,995 205 796 029 173 596 16 × 2 = 1 + 0,990 411 592 058 347 192 32;
  • 28) 0,990 411 592 058 347 192 32 × 2 = 1 + 0,980 823 184 116 694 384 64;
  • 29) 0,980 823 184 116 694 384 64 × 2 = 1 + 0,961 646 368 233 388 769 28;
  • 30) 0,961 646 368 233 388 769 28 × 2 = 1 + 0,923 292 736 466 777 538 56;
  • 31) 0,923 292 736 466 777 538 56 × 2 = 1 + 0,846 585 472 933 555 077 12;
  • 32) 0,846 585 472 933 555 077 12 × 2 = 1 + 0,693 170 945 867 110 154 24;
  • 33) 0,693 170 945 867 110 154 24 × 2 = 1 + 0,386 341 891 734 220 308 48;
  • 34) 0,386 341 891 734 220 308 48 × 2 = 0 + 0,772 683 783 468 440 616 96;
  • 35) 0,772 683 783 468 440 616 96 × 2 = 1 + 0,545 367 566 936 881 233 92;
  • 36) 0,545 367 566 936 881 233 92 × 2 = 1 + 0,090 735 133 873 762 467 84;
  • 37) 0,090 735 133 873 762 467 84 × 2 = 0 + 0,181 470 267 747 524 935 68;
  • 38) 0,181 470 267 747 524 935 68 × 2 = 0 + 0,362 940 535 495 049 871 36;
  • 39) 0,362 940 535 495 049 871 36 × 2 = 0 + 0,725 881 070 990 099 742 72;
  • 40) 0,725 881 070 990 099 742 72 × 2 = 1 + 0,451 762 141 980 199 485 44;
  • 41) 0,451 762 141 980 199 485 44 × 2 = 0 + 0,903 524 283 960 398 970 88;
  • 42) 0,903 524 283 960 398 970 88 × 2 = 1 + 0,807 048 567 920 797 941 76;
  • 43) 0,807 048 567 920 797 941 76 × 2 = 1 + 0,614 097 135 841 595 883 52;
  • 44) 0,614 097 135 841 595 883 52 × 2 = 1 + 0,228 194 271 683 191 767 04;
  • 45) 0,228 194 271 683 191 767 04 × 2 = 0 + 0,456 388 543 366 383 534 08;
  • 46) 0,456 388 543 366 383 534 08 × 2 = 0 + 0,912 777 086 732 767 068 16;
  • 47) 0,912 777 086 732 767 068 16 × 2 = 1 + 0,825 554 173 465 534 136 32;
  • 48) 0,825 554 173 465 534 136 32 × 2 = 1 + 0,651 108 346 931 068 272 64;
  • 49) 0,651 108 346 931 068 272 64 × 2 = 1 + 0,302 216 693 862 136 545 28;
  • 50) 0,302 216 693 862 136 545 28 × 2 = 0 + 0,604 433 387 724 273 090 56;
  • 51) 0,604 433 387 724 273 090 56 × 2 = 1 + 0,208 866 775 448 546 181 12;
  • 52) 0,208 866 775 448 546 181 12 × 2 = 0 + 0,417 733 550 897 092 362 24;
  • 53) 0,417 733 550 897 092 362 24 × 2 = 0 + 0,835 467 101 794 184 724 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,999 847 695 159 998 476 94(10) =

0,1111 1111 1111 0110 0000 0100 1011 1111 1011 0001 0111 0011 1010 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,999 847 695 159 998 476 94(10) =

0,1111 1111 1111 0110 0000 0100 1011 1111 1011 0001 0111 0011 1010 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,999 847 695 159 998 476 94(10) =

0,1111 1111 1111 0110 0000 0100 1011 1111 1011 0001 0111 0011 1010 0(2) =

0,1111 1111 1111 0110 0000 0100 1011 1111 1011 0001 0111 0011 1010 0(2) × 20 =

1,1111 1111 1110 1100 0000 1001 0111 1111 0110 0010 1110 0111 0100(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1110 1100 0000 1001 0111 1111 0110 0010 1110 0111 0100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1110 1100 0000 1001 0111 1111 0110 0010 1110 0111 0100 =

1111 1111 1110 1100 0000 1001 0111 1111 0110 0010 1110 0111 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1110 1100 0000 1001 0111 1111 0110 0010 1110 0111 0100


Numărul zecimal 0,999 847 695 159 998 476 94 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1111 1111 1110 1100 0000 1001 0111 1111 0110 0010 1110 0111 0100

Distribuie

» Scriere 0,999 847 695 159 998 477 74 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100