1,000 000 000 232 830 643 653 694 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,000 000 000 232 830 643 653 694(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,000 000 000 232 830 643 653 694(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 232 830 643 653 694.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 232 830 643 653 694 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 661 287 307 388;
  • 2) 0,000 000 000 465 661 287 307 388 × 2 = 0 + 0,000 000 000 931 322 574 614 776;
  • 3) 0,000 000 000 931 322 574 614 776 × 2 = 0 + 0,000 000 001 862 645 149 229 552;
  • 4) 0,000 000 001 862 645 149 229 552 × 2 = 0 + 0,000 000 003 725 290 298 459 104;
  • 5) 0,000 000 003 725 290 298 459 104 × 2 = 0 + 0,000 000 007 450 580 596 918 208;
  • 6) 0,000 000 007 450 580 596 918 208 × 2 = 0 + 0,000 000 014 901 161 193 836 416;
  • 7) 0,000 000 014 901 161 193 836 416 × 2 = 0 + 0,000 000 029 802 322 387 672 832;
  • 8) 0,000 000 029 802 322 387 672 832 × 2 = 0 + 0,000 000 059 604 644 775 345 664;
  • 9) 0,000 000 059 604 644 775 345 664 × 2 = 0 + 0,000 000 119 209 289 550 691 328;
  • 10) 0,000 000 119 209 289 550 691 328 × 2 = 0 + 0,000 000 238 418 579 101 382 656;
  • 11) 0,000 000 238 418 579 101 382 656 × 2 = 0 + 0,000 000 476 837 158 202 765 312;
  • 12) 0,000 000 476 837 158 202 765 312 × 2 = 0 + 0,000 000 953 674 316 405 530 624;
  • 13) 0,000 000 953 674 316 405 530 624 × 2 = 0 + 0,000 001 907 348 632 811 061 248;
  • 14) 0,000 001 907 348 632 811 061 248 × 2 = 0 + 0,000 003 814 697 265 622 122 496;
  • 15) 0,000 003 814 697 265 622 122 496 × 2 = 0 + 0,000 007 629 394 531 244 244 992;
  • 16) 0,000 007 629 394 531 244 244 992 × 2 = 0 + 0,000 015 258 789 062 488 489 984;
  • 17) 0,000 015 258 789 062 488 489 984 × 2 = 0 + 0,000 030 517 578 124 976 979 968;
  • 18) 0,000 030 517 578 124 976 979 968 × 2 = 0 + 0,000 061 035 156 249 953 959 936;
  • 19) 0,000 061 035 156 249 953 959 936 × 2 = 0 + 0,000 122 070 312 499 907 919 872;
  • 20) 0,000 122 070 312 499 907 919 872 × 2 = 0 + 0,000 244 140 624 999 815 839 744;
  • 21) 0,000 244 140 624 999 815 839 744 × 2 = 0 + 0,000 488 281 249 999 631 679 488;
  • 22) 0,000 488 281 249 999 631 679 488 × 2 = 0 + 0,000 976 562 499 999 263 358 976;
  • 23) 0,000 976 562 499 999 263 358 976 × 2 = 0 + 0,001 953 124 999 998 526 717 952;
  • 24) 0,001 953 124 999 998 526 717 952 × 2 = 0 + 0,003 906 249 999 997 053 435 904;
  • 25) 0,003 906 249 999 997 053 435 904 × 2 = 0 + 0,007 812 499 999 994 106 871 808;
  • 26) 0,007 812 499 999 994 106 871 808 × 2 = 0 + 0,015 624 999 999 988 213 743 616;
  • 27) 0,015 624 999 999 988 213 743 616 × 2 = 0 + 0,031 249 999 999 976 427 487 232;
  • 28) 0,031 249 999 999 976 427 487 232 × 2 = 0 + 0,062 499 999 999 952 854 974 464;
  • 29) 0,062 499 999 999 952 854 974 464 × 2 = 0 + 0,124 999 999 999 905 709 948 928;
  • 30) 0,124 999 999 999 905 709 948 928 × 2 = 0 + 0,249 999 999 999 811 419 897 856;
  • 31) 0,249 999 999 999 811 419 897 856 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 622 839 795 712;
  • 32) 0,499 999 999 999 622 839 795 712 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 245 679 591 424;
  • 33) 0,999 999 999 999 245 679 591 424 × 2 = 1 + 0,999 999 999 998 491 359 182 848;
  • 34) 0,999 999 999 998 491 359 182 848 × 2 = 1 + 0,999 999 999 996 982 718 365 696;
  • 35) 0,999 999 999 996 982 718 365 696 × 2 = 1 + 0,999 999 999 993 965 436 731 392;
  • 36) 0,999 999 999 993 965 436 731 392 × 2 = 1 + 0,999 999 999 987 930 873 462 784;
  • 37) 0,999 999 999 987 930 873 462 784 × 2 = 1 + 0,999 999 999 975 861 746 925 568;
  • 38) 0,999 999 999 975 861 746 925 568 × 2 = 1 + 0,999 999 999 951 723 493 851 136;
  • 39) 0,999 999 999 951 723 493 851 136 × 2 = 1 + 0,999 999 999 903 446 987 702 272;
  • 40) 0,999 999 999 903 446 987 702 272 × 2 = 1 + 0,999 999 999 806 893 975 404 544;
  • 41) 0,999 999 999 806 893 975 404 544 × 2 = 1 + 0,999 999 999 613 787 950 809 088;
  • 42) 0,999 999 999 613 787 950 809 088 × 2 = 1 + 0,999 999 999 227 575 901 618 176;
  • 43) 0,999 999 999 227 575 901 618 176 × 2 = 1 + 0,999 999 998 455 151 803 236 352;
  • 44) 0,999 999 998 455 151 803 236 352 × 2 = 1 + 0,999 999 996 910 303 606 472 704;
  • 45) 0,999 999 996 910 303 606 472 704 × 2 = 1 + 0,999 999 993 820 607 212 945 408;
  • 46) 0,999 999 993 820 607 212 945 408 × 2 = 1 + 0,999 999 987 641 214 425 890 816;
  • 47) 0,999 999 987 641 214 425 890 816 × 2 = 1 + 0,999 999 975 282 428 851 781 632;
  • 48) 0,999 999 975 282 428 851 781 632 × 2 = 1 + 0,999 999 950 564 857 703 563 264;
  • 49) 0,999 999 950 564 857 703 563 264 × 2 = 1 + 0,999 999 901 129 715 407 126 528;
  • 50) 0,999 999 901 129 715 407 126 528 × 2 = 1 + 0,999 999 802 259 430 814 253 056;
  • 51) 0,999 999 802 259 430 814 253 056 × 2 = 1 + 0,999 999 604 518 861 628 506 112;
  • 52) 0,999 999 604 518 861 628 506 112 × 2 = 1 + 0,999 999 209 037 723 257 012 224;
  • 53) 0,999 999 209 037 723 257 012 224 × 2 = 1 + 0,999 998 418 075 446 514 024 448;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 232 830 643 653 694(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,000 000 000 232 830 643 653 694(10) =

1,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,000 000 000 232 830 643 653 694(10) =

1,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111 1(2) =

1,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111 1 =

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111


Numărul zecimal 1,000 000 000 232 830 643 653 694 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111

Distribuie

» Scriere 1,000 000 000 232 830 643 653 597 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100