1,000 000 000 232 830 643 653 869 628 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,000 000 000 232 830 643 653 869 628 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,000 000 000 232 830 643 653 869 628 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 232 830 643 653 869 628 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 232 830 643 653 869 628 5 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 661 287 307 739 257;
  • 2) 0,000 000 000 465 661 287 307 739 257 × 2 = 0 + 0,000 000 000 931 322 574 615 478 514;
  • 3) 0,000 000 000 931 322 574 615 478 514 × 2 = 0 + 0,000 000 001 862 645 149 230 957 028;
  • 4) 0,000 000 001 862 645 149 230 957 028 × 2 = 0 + 0,000 000 003 725 290 298 461 914 056;
  • 5) 0,000 000 003 725 290 298 461 914 056 × 2 = 0 + 0,000 000 007 450 580 596 923 828 112;
  • 6) 0,000 000 007 450 580 596 923 828 112 × 2 = 0 + 0,000 000 014 901 161 193 847 656 224;
  • 7) 0,000 000 014 901 161 193 847 656 224 × 2 = 0 + 0,000 000 029 802 322 387 695 312 448;
  • 8) 0,000 000 029 802 322 387 695 312 448 × 2 = 0 + 0,000 000 059 604 644 775 390 624 896;
  • 9) 0,000 000 059 604 644 775 390 624 896 × 2 = 0 + 0,000 000 119 209 289 550 781 249 792;
  • 10) 0,000 000 119 209 289 550 781 249 792 × 2 = 0 + 0,000 000 238 418 579 101 562 499 584;
  • 11) 0,000 000 238 418 579 101 562 499 584 × 2 = 0 + 0,000 000 476 837 158 203 124 999 168;
  • 12) 0,000 000 476 837 158 203 124 999 168 × 2 = 0 + 0,000 000 953 674 316 406 249 998 336;
  • 13) 0,000 000 953 674 316 406 249 998 336 × 2 = 0 + 0,000 001 907 348 632 812 499 996 672;
  • 14) 0,000 001 907 348 632 812 499 996 672 × 2 = 0 + 0,000 003 814 697 265 624 999 993 344;
  • 15) 0,000 003 814 697 265 624 999 993 344 × 2 = 0 + 0,000 007 629 394 531 249 999 986 688;
  • 16) 0,000 007 629 394 531 249 999 986 688 × 2 = 0 + 0,000 015 258 789 062 499 999 973 376;
  • 17) 0,000 015 258 789 062 499 999 973 376 × 2 = 0 + 0,000 030 517 578 124 999 999 946 752;
  • 18) 0,000 030 517 578 124 999 999 946 752 × 2 = 0 + 0,000 061 035 156 249 999 999 893 504;
  • 19) 0,000 061 035 156 249 999 999 893 504 × 2 = 0 + 0,000 122 070 312 499 999 999 787 008;
  • 20) 0,000 122 070 312 499 999 999 787 008 × 2 = 0 + 0,000 244 140 624 999 999 999 574 016;
  • 21) 0,000 244 140 624 999 999 999 574 016 × 2 = 0 + 0,000 488 281 249 999 999 999 148 032;
  • 22) 0,000 488 281 249 999 999 999 148 032 × 2 = 0 + 0,000 976 562 499 999 999 998 296 064;
  • 23) 0,000 976 562 499 999 999 998 296 064 × 2 = 0 + 0,001 953 124 999 999 999 996 592 128;
  • 24) 0,001 953 124 999 999 999 996 592 128 × 2 = 0 + 0,003 906 249 999 999 999 993 184 256;
  • 25) 0,003 906 249 999 999 999 993 184 256 × 2 = 0 + 0,007 812 499 999 999 999 986 368 512;
  • 26) 0,007 812 499 999 999 999 986 368 512 × 2 = 0 + 0,015 624 999 999 999 999 972 737 024;
  • 27) 0,015 624 999 999 999 999 972 737 024 × 2 = 0 + 0,031 249 999 999 999 999 945 474 048;
  • 28) 0,031 249 999 999 999 999 945 474 048 × 2 = 0 + 0,062 499 999 999 999 999 890 948 096;
  • 29) 0,062 499 999 999 999 999 890 948 096 × 2 = 0 + 0,124 999 999 999 999 999 781 896 192;
  • 30) 0,124 999 999 999 999 999 781 896 192 × 2 = 0 + 0,249 999 999 999 999 999 563 792 384;
  • 31) 0,249 999 999 999 999 999 563 792 384 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 999 999 127 584 768;
  • 32) 0,499 999 999 999 999 999 127 584 768 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 999 998 255 169 536;
  • 33) 0,999 999 999 999 999 998 255 169 536 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 996 510 339 072;
  • 34) 0,999 999 999 999 999 996 510 339 072 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 993 020 678 144;
  • 35) 0,999 999 999 999 999 993 020 678 144 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 986 041 356 288;
  • 36) 0,999 999 999 999 999 986 041 356 288 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 972 082 712 576;
  • 37) 0,999 999 999 999 999 972 082 712 576 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 944 165 425 152;
  • 38) 0,999 999 999 999 999 944 165 425 152 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 888 330 850 304;
  • 39) 0,999 999 999 999 999 888 330 850 304 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 776 661 700 608;
  • 40) 0,999 999 999 999 999 776 661 700 608 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 553 323 401 216;
  • 41) 0,999 999 999 999 999 553 323 401 216 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 106 646 802 432;
  • 42) 0,999 999 999 999 999 106 646 802 432 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 998 213 293 604 864;
  • 43) 0,999 999 999 999 998 213 293 604 864 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 996 426 587 209 728;
  • 44) 0,999 999 999 999 996 426 587 209 728 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 992 853 174 419 456;
  • 45) 0,999 999 999 999 992 853 174 419 456 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 985 706 348 838 912;
  • 46) 0,999 999 999 999 985 706 348 838 912 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 971 412 697 677 824;
  • 47) 0,999 999 999 999 971 412 697 677 824 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 942 825 395 355 648;
  • 48) 0,999 999 999 999 942 825 395 355 648 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 885 650 790 711 296;
  • 49) 0,999 999 999 999 885 650 790 711 296 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 771 301 581 422 592;
  • 50) 0,999 999 999 999 771 301 581 422 592 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 542 603 162 845 184;
  • 51) 0,999 999 999 999 542 603 162 845 184 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 085 206 325 690 368;
  • 52) 0,999 999 999 999 085 206 325 690 368 × 2 = 1 + 0,999 999 999 998 170 412 651 380 736;
  • 53) 0,999 999 999 998 170 412 651 380 736 × 2 = 1 + 0,999 999 999 996 340 825 302 761 472;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 232 830 643 653 869 628 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,000 000 000 232 830 643 653 869 628 5(10) =

1,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,000 000 000 232 830 643 653 869 628 5(10) =

1,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111 1(2) =

1,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111 1 =

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111


Numărul zecimal 1,000 000 000 232 830 643 653 869 628 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111

Distribuie

» Scriere 1,000 000 000 232 830 643 653 869 618 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100